VECTORES DÍA 19 * 1º BAD CT

VECTORES FIJOS Dirección B La flecha del vector indica su sentido. Un VECTOR FIJO AB es una entidad geométrica, un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. Se caracteriza por tener: Punto de aplicación, A, dado por unas coordenadas. Dirección, que es la recta sobre la que se apoya. Sentido, que es el indicado por la flecha del vector. Módulo o intensidad, que es la medida desde el origen A al extremo B. Vector v = AB Dirección B La flecha del vector indica su sentido. Nota: Se permite formalmente que, en lugar de una flecha sobre el nombre del vector, baste señalar dicho nombre en negrilla. Módulo = |v| A = Punto de aplicación

Vector fijo Un vector fijo es un segmento orientado, de origen el punto A y extremo el punto B. t z w v u Ejemplo de cinco vectores diferentes: u, v, w, s, y t

Vector fijo Un vector fijo es un segmento orientado, de origen el punto A y extremo el punto B. AB CD EF GH JK Ejemplo de cinco vectores diferentes.

EQUIPOLENCIA DE VECTORES Dos vectores fijos AB y CD, no nulos, son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Se designan como: AB ~ CD Gráficamente, dos vectores no nulos y no alineados son equipolentes si al unir los orígenes y los extremos se obtiene un paralelogramo. B A D C

VECTORES LIBRES Un vector libre es cada una de las clases en que queda clasificado el conjunto de los vectores fijos mediante la relación de equipolencia. Dicha relación es de equivalencia al cumplir las propiedades: Reflexiva: Todo vector fijo es equipolente a si mismo. Simétrica: Si un vector fijo es equipolente a otro, éste es equipolente al primero. Transitiva: Si un vector fijo es equipolente a un segundo, y éste es equipolente a un tercero, el primero es equipolente al tercero. v v v v v C

VECTORES LIBRES Si al segmento le quitamos su punto de aplicación, A, se podrá mover libremente (desplazarse) sobre la recta que forma la Dirección. Si además le permitimos desplazarse paralelamente a su Dirección, podrá ocupar todo el plano. El vector tendrá una libertad de movimientos muy grande, aunque no podrá girar. Debido a dicha libertad de movimientos se denomina vector libre. El módulo, dirección y sentido de un vector libre es el módulo, dirección y sentido de cualquiera de sus representantes. v v v v v

Ejemplos de vectores equipolentes Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, direcciones paralelas y sentido. B F EF AB H GH E A P D G CD M PQ MN C Q Los vectores AB y CD son equipolentes. Igual que EF y GH . Y lo mismo pasa con MN y PQ. N

Coordenadas cartesianas Un sistema de coordenadas cartesianas en V2 está formado por: Dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. El punto donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas. El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje OX. El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje OY. La unidad del eje de abscisas es el vector i. La unidad del eje de ordenadas es el vector j. La coordenada x, medida en el eje horizontal, es la abscisa del vector. La coordenada y, medida en el eje vertical, es la ordenada del vector. y u j i x u = xi + yj

Ejemplos de coordenadas de un vector Sea el vector u = ai + bj  u = (a, b) v = 5i + 3j  v = (5,3) w = 2j  w = (0, 2) t = - 4i+j  t = (- 4, 1) u = 5i  u = (5, 0) z = 2i – 3j  z = ( 2, -3)

Ejemplo 1 Sean los puntos A(6,2) y B(8,5) en la referencia euclídea R=(O,i,j) Hallar las coordenadas del vector AB. Podemos poner: OA+AB=OB a+AB=b De donde: AB = b – a AB=(8, 5) – (6,2) = = (8 – 6 , 5 – 2)= (2,3) B(8, 5) AB =(2,3) A(6, 2) O

Ejemplo 2 Sean los puntos A(4,0) y B(8,-6) en la referencia euclídea R=(O,i,j) Hallar las coordenadas del vector AB. Podemos poner: OA+AB=OB a+AB=b De donde: AB = b – a AB=(8, – 6) – (4,0) = = (8 – 4 , – 6 – 0)= (4, – 6) A(4, 0) O AB=(4, –6) B(8, -6)

Ejemplo 3 Un vector fijo tiene su origen en el punto A(5, 2) y sus coordenadas son (- 3, - 4). Hallar las coordenadas de su extremo B. Podemos poner: OA+AB=OB a+AB=b De donde: b = AB + a b=(– 3 , – 4) + (5, 2) = (2 , – 2) A(5, 2) O AB=(– 3, –4) B(2, -2)

MÓDULO Y ARGUMENTO MÓDULO Módulo de un vector u , |u|, es su longitud. |u|=√(x2+y2) ARGUMENTO Argumento de un vector u, α, es el menor de los ángulos que forma con el eje positivo de abscisas. arg(u) = α = arctg (y/x) u yj |u|=√(x2+y2) α = arctg (y/x) j i xi