@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 TEMA 14 * INFERENCIA ESTADÍSTICA MATEMÁTICAS A. CS II

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 Tema 14.5 * 2º B CS INFERENCIA DE LA MEDIA

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Se desea estimar la media, μ, de una población cuya desviación típica, σ, es conocida. Para ello se recurre a una muestra de tamaño n en la cual se obtiene una media muestral x. Si la población de partida es normal o si el tamaño de la muestra es n ≥ 30, entonces el intervalo de confianza de μ con un nivel de confianza de (1 – α).100% es: (x – z α/2. σ/√n, x + z α/2. σ/√n). Nota_1 Una vez extraída la muestra. Su media x estará o no en el intervalo. No podemos hablar de probabilidad, puesto que no sabemos el valor de μ; en su lugar diremos que tenemos un nivel de confianza (1 – α) de que μ esté en dicho intervalo. Nota_2 Si la desviación típica, σ, de la población es desconocida, hay que estimarla a partir de la muestra. Su valor será: σ = √ [∑(xi – x) 2 / (n – 1)]

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. Principales valores críticos 1 – α α/2z α/2 0,9 0,051,645 0,95 0,0251,96 0,99 0,0052,575 Recordatorio: A emplear para ejemplos -k 0 k=z α/2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 EJEMPLO_1 Se desea estimar la media, μ, de la altura de todos los estudiantes de un IES, cuya desviación típica, σ, vale 0,18. Tenemos una muestra de 36 alumnos, de la cual hemos calculado su media, x, que vale 1,68. Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 99%. Resolución: El intervalo de confianza será:(x – z α/2. σ/√n, x + z α/2. σ/√n). Sustituyendo los datos conocidos: (1,68 – z α/2. 0,18/√36, 1,68 + z α/2. 0,18/√36). Para un nivel de confianza del 99%, sabemos que α/2 = 0,005 y que z α/2 = 2,575 Luego el intervalo de confianza será: (1,68 – 2,575. 0,18/√36, 1,68 + 2,575. 0,18/√36). Operando queda: (1,68 – 0,07725, 1,68 + 0,07725) = (1,60275, 1,75725)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 EJEMPLO_2 Se desea estimar la media, μ, de la altura de todos los estudiantes de bachillerato de la provincia de Palencia, cuya desviación típica, σ, vale 0,16. Tenemos una muestra de 400 alumnos, de la cual hemos calculado su media, x, que vale 1,67. Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 95%. Resolución: El intervalo de confianza será:(x – z α/2. σ/√n, x + z α/2. σ/√n). Sustituyendo los datos conocidos: (1,67 – z α/2. 0,16/√400, 1,67 + z α/2. 0,16/√400). Para un nivel de confianza del 95%, sabemos que: α/2 = 0,025 y que por tanto z α/2 = 1,96 Luego el intervalo de confianza será: (1,67 – 1,96. 0,16/√400, 1,68 + 1,96. 0,16/√400). Operando queda: (1,67 – 0,01568, 1,67 + 0,01568) = (1,65432, 1,68568)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS7 EJEMPLO_3 Se desea estimar la media, μ, de la altura de todos los estudiantes de secundaria de Castilla y León, cuya desviación típica, σ, también desconocemos. Tenemos una muestra de alumnos, de la cual hemos calculado su media, x, que vale 1,65, y su desviación típica, s, que vale 0,20. Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 90%. Resolución: El intervalo de confianza será:(x – z α/2. σ/√n, x + z α/2. σ/√n). Al ser n=10000 muy grande, podemos poner: σ = s = 0,20 Sustituyendo los datos conocidos: (1,65 – z α/2. 0,02/√10000, 1,65 + z α/2. 0,20/√10000). Para un nivel de confianza del 90%, sabemos que: α/2 = 0,05 y que z α/2 = 1,645 Luego el intervalo de confianza será: (1,65 – 1,645. 0,20/√10000, 1,68 + 1,645. 0,20/√10000). Operando queda: (1,65 – 0,00329, 1,65 + 0,00329) = (1,64671, 1,65329)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS8 EJEMPLO_7 Para estimar la media de los resultados de todos los alumnos de 4º ESO de Castilla y León se realiza un test a una muestra de 400 alumnos escogidos al azar. Puntuación12345 Nº alumnos Estima, con un nivel de confianza del 95%, el valor de la media poblacional. Resolución: Tabulando los resultados tenemos: Σfi = 400,Σxi.fi = 1299,Σxi.xi.fi = 4723 Obteniendo los parámetros de la muestra: Media muestras: x = 3,25Desviación típica muestral: s = 1,12 Para un nivel de confianza del 95% tenemos: 1 – α = 0,95  α/2 = 0,025  z α/2 = 1,96 El intervalo correspondiente para la media poblacional, μ, es: (x – z α/2.s/√n, x + z α/2.s/√n ) (3,25 – 1,96. 1,12 / √400, 3,25 + 1,96. 1,12 / √400 ) = (3,14, 3,36) Tenemos una confianza del 95% de que la nota media de la población (el total de los alumnos de Castilla y León) esté entre 3,14 y 3,36.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS9 EJEMPLO_8 En una población estudiamos la edad en que los hijos abandonan el domicilio familiar. De ese estudio conocemos la desviación típica, 8, pero desconocemos la media poblacional. Para conocerla extraemos una muestra de tamaño 60 y vemos que la media muestral es de 37 años. Estimar la media poblacional, μ, con un nivel de confianza de 99%. Resolución: En la muestra: n = 60, x = 37 Para un nivel de confianza del 99% tenemos: 1 – α = 0,99  α/2 = 0,005  z α/2 = 2,575 El intervalo correspondiente para la media poblacional, μ, es: (x – z α/2.s/√n, x + z α/2.s/√n ) (37 – 2, / √60, , / √60 ) = (34,34, 39,66) Tenemos una confianza del 99% de que media de la población esté entre 34,34 y 39,66 años.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS10 EJEMPLO_4 a)Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 90%, según los datos del Ejercicio_1. b)Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 95%, según los datos del Ejercicio_1. EJEMPLO_5 a)Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 90%, según los datos del Ejercicio_2. b)Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 99%, según los datos del Ejercicio_2. EJEMPLO_6 a)Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 95%, según los datos del Ejercicio_3. b)Hallar el intervalo de confianza de μ en el que podemos estimar que se encuentra con un nivel de confianza del 99%, según los datos del Ejercicio_3. Variantes propuestas para practicar