TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA Colegio Divina Pastora (Toledo)

VECTORES FIJOS EN EL PLANO Vector fijo AB, es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. Módulo: es la longitud del segmento AB, se representa Dirección: es la dirección de la recta que pasa por A y B Sentido: es la orientación de la recta. En cada dirección hay 2 sentidos: de A a B y de B a A. Descartes Vector fijo nulo: el extremo y el origen coinciden. Es un punto y su módulo es 0. Sean A (a1, a2) y B (b1, b2) dos puntos, las coordenadas cartesianas del vector AB son B - A = (b1 - a1, b2 – a2) Siendo P un punto del plano, se llama vector de posición del punto P al vector OP que representamos por Las coordenadas de un punto son las mismas que las de su vector de posición.

VECTORES LIBRES EN EL PLANO Vectores equipolentes: Tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Vector libre del plano: Es el conjunto de todos los vectores fijos equipolentes a uno de dado y se representa por

OPERACIONES CON VECTORES LIBRES Suma de vectores libres Descartes1 Descartes2 Producto de un nº real por un vector Tiene por módulo el producto del valor absoluto del nº real no nulo (k) por el módulo del vector Tendrá por dirección la misma del vector y por sentido el mismo si k es positivo, y el opuesto si k es negativo. Descartes 2

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Un vector u es combinación lineal de 2 vectores v y w si existen los números reales a y b tales que u = av + bw . Descartes En este caso se dice que u, v y w son linealmente dependientes Siendo i=(1,0) y j=(0,1) cualquier vector libre del plano puede expresarse como una combinación lineal de la forma donde (u1,u2) son las coordenadas cartesianas de u.

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Es un número real y se designa u · v u · v = Expresión analítica del producto escalar u · v = xx´ + yy´ Siendo u=(x,y) y v=(x’,y’) Descartes

MÓDULO DE UN VECTOR. ÁNGULO DE DOS VECTORES Es la longitud entre su origen y su extremo. Si el vector tiene de coordenadas (x,y), utilizando el Teorema de Pitágoras: Ángulo de 2 vectores = Descartes

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dados 2 puntos A y B del plano se llama distancia de A a B al módulo del vector AB: d (A, B) = Descartes Las coordenadas del punto medio de un segmento AB, con A (x1,y1) y B (x2,y2) son: Xm= (x1+x2)/2 Ym= (y1+y2)/2

ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN VECTORIAL ECUACIONES PARAMÉTRICAS Si una recta está determinada por un punto A (x1,y1) y un vector no nulo u=(a,b) es la ecuación vectorial de la recta y u, el vector director. ECUACIONES PARAMÉTRICAS Se obtienen igualando los 2 pares de la ecuación vectorial: ECUACIÓN CONTINUA Se obtiene despejando t en ambas ecuaciones e igualando: ECUACIÓN GENERAL Se obtiene operando con la ecuación continua y simplificando. También se llama Ecuación en forma implícita: Ax + By + C = 0 Un vector director será y un punto de la recta será cualquiera que verifique la ecuación (se da un valor a una de las incógnitas y se resuelve la ecuación). Descartes

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO PENDIENTE ECUACIÓN EXPLÍCITA Se obtiene despejando la variable Y de la ecuación general: y = mx + n; donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen. Si una recta tiene u=(a,b) de vector director, la pendiente m = b/a . ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO PENDIENTE La ecuación de la recta que pasa por A( x1,y1) y tiene de pendiente m es: ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA SEGMENTARIA Si una recta corta a los ejes en los puntos P (p,0) y Q (0,q) su ecuación en forma segmentaria es: Descartes

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO. 2 rectas son secantes si sólo tiene un punto en común, paralelas si no tiene ningún punto en común y coincidentes si tienen todos los puntos comunes. Podemos hallar la posición de 2 rectas hallando su intersección, resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones: Si tienen 1 solución, las rectas se cortan Si no tiene solución, las rectas son paralelas Si tienen infinitas soluciones, las rectas son coincidentes. Otra forma de saber su posición: Descartes Forma explícita y = mx+n Forma General Ax+By+C=0 r y s secantes m≠m´ r y s paralelas m = m´ ; n≠n´ r y s coincidentes m = m´ ; n = n´