Matemáticas Acceso a CFGS POTENCIA, EJE Y CENTRO Bloque II * Tema 075 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS POTENCIA DE UN PUNTO POTENCIA DE UN PUNTO Por un punto P(a, b) trazamos dos o más rectas que corten a una circunferencia de centro C(k, h) y radio r. Los puntos de corte serán A y B, A’ y B’, etc. Los triángulos PBA’ y PAB’ son semejantes ya que poseen dos ángulos iguales. Podemos poner: PA’ PA ----- = ----  PA’ . PB’ = PA . PB PB PB’ Este producto es constante para cualquier recta que pase por el punto P(a,b). Esa constante se denomina potencia de P respecto a la circunferencia C, y se escribe PotC (P) P(a, b) A B A’ B’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Cálculo de la potencia CALCULO DE LA POTENCIA DE UN PUNTO Como hemos dicho que es indiferente la recta secante trazada por P, tomamos aquella que coincide con el diámetro de la circunferencia. Distancia del punto al centro de la circunferencia: d(P, C) = √ [ (a ‑ k)2 + (b ‑ h)2 ] = d PotC (P) = (d + r).(d – r) = d2 – r2 PotC (P) = (a ‑ k)2 + (b ‑ h)2 – r2 Vemos pues que la potencia de un punto respecto a una circunferencia se calcula tomando la ecuación de la circunferencia igualada a cero y sustituyendo la x y la y por las coordenadas del punto P. d=d(P, C) P(a, b) A r r C B @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Consecuencias Consecuencias: Si la potencia es positiva, el punto es exterior a la circunferencia. PotC (P) > 0  P(a, b) es exterior a C Ejemplo: Sea P(5,2) y C: x2 + y2 – 25 = 0  PotC (P) = 25 + 4 – 25 = 4 > 0 Si la potencia es 0 , el punto pertenece a la circunferencia. PotC (P) = 0  P(a, b) pertenece a C Sea P(- 6,8) y C: x2 + y2 – 100 = 0  PotC (P) = 36 + 64 – 100 = 0 Si la potencia es negativa, el punto es interior a la circunferencia. PotC (P) < 0  P(a, b) es interior a C Sea P(0, -2) y C: x2 + y2 – 16 = 0  PotC (P) = 0 + 4 – 16 = – 12 < 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios Ejemplo 1 Sea P(0,2) y C: x2 + y2 – 2x + 5 = 0 PotC (P) = 0 + 4 – 0 + 5 = 9 > 0 El punto es exterior a la circunferencia Ejemplo 2 Sea P(1, -1) y C: x2 + y2 – 2x + 3y – 5 = 0 PotC (P) = 1 + 1 – 2 – 3 – 5 = – 8 < 0 El punto es interior a la circunferencia Ejemplo 3 Sea P(a, 0) y C: x2 + y2 – a2 = 0 PotC (P) = a2 – a2 = 0 = 0 El punto pertenece a la circunferencia, sea cual sea el valor de a. Ejemplo 4 Sea P(a, a) y C: x2 + y2 – 50 = 0 PotC (P) = a2 + a2 – 50 = 2. a2 – 50 = 2.(a2 – 25) El punto es exterior a la circunferencia cuando …. El punto pertenece a la circunferencia si … El punto es interior a la circunferencia cuando …. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJE RADICAL EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas. Sean las circunferencias: C1: x2 + y2 + D1.x + E1.y + F1 = 0 C2: x2 + y2 + D2.x + E2.y + F2 = 0 Sea el punto P(x,y), general. Al ser iguales las potencias: x2 + y2 + D1.x + E1.y + F1 = x2 + y2 + D2.x + E2.y + F2 Simplificando: (D1 – D2).x + (E1 – E2).y + (F1 – F2) = 0 que es la ecuación de una recta. El eje radical es siempre perpendicular a la línea que une los centros. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJE RADICAL @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios 1.- Hallar el eje radical de C1: x2 + y2 – 9 = 0 y C2: (x – 3)2 + (y – 4)2 – 25 = 0 x2 + y2 – 9 = x2 – 6x + 9 + y2 – 7y + 16 – 25 6x – 9 – 9 + 7y – 16 + 25 = 0 6x + 7y – 9 = 0 2.- Hallar el eje radical de C1: (x – 1)2 + y2 – 1 = 0 y C2: (x – 1)2 + (y – 4)2 – 25 = 0 x2 – 2x + 1 + y2 – 1 = x2 – 2x + 1 + y2 – 8y + 16 – 25 – 2x + 1 – 1 + 2x – 1 + 8y – 16 + 25 = 0 8y + 8 = 0 ,, y = - 1 3.- Hallar el eje radical de C1: x2 + y2 – 1 = 0 y C2: (x – 5)2 + (y – 5)2 – 100 = 0 x2 + y2 – 1 = x2 – 10x + 25 + y2 – 10y + 25 – 100 10x + 10y – 1 – 25 – 25 + 100 = 0 10x + 10y + 49 = 0 ,, y = – x – 4,9 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS CENTRO RADICAL CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS Se llama centro radical de tres circunferencias a un punto tal que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias. Se obtiene como intersección de los ejes radicales. La intersección de los tres ejes radicales que se obtienen tomando las circunferencias de dos en dos es un punto único. Sean los ejes: (D1 – D2).x + (E1 – E2).y + (F1 – F2) = 0 (D3 – D2).x + (E3 – E2).y + (F3 – F2) = 0 (D3 – D1).x + (E3 – E1).y + (F3 – F1) = 0 Que tomados dos cualesquiera y resolviendo el sistema obtenemos las coordenadas del centro radical. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS CENTRO RADICAL Centro radical correcto: Es único Centro radical incorrecto @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejercicios 1.- Hallar el centro radical de C1: x2 + y2 – 9 = 0 C2: (x – 3)2 + (y – 4)2 – 25 = 0 y C3: (x – 5)2 + (y – 5)2 – 100 = 0 Tomadas dos a dos los ejes radicales son: 6x + 8y – 9 = 0 (1) y = – 2x – 25 (2) y = – x – 4,1 (3) Tomamos los ejes (2) y (3); y resolviendo por igualación: 2x + 25 = x + 4,1 x = 4,1 – 25 = x x = – 20,9 y = – x – 4,1 = 20,9 – 4,1 = 16,8 Comprobamos que el punto pertenece al eje (1): 6x + 8y – 9 = 0 6.(– 20,9 ) + 8.(16,8) – 9 = 0 – 125,4 + 134,4 – 9 = 0 ,, 9 – 9 = 0 El centro radical es el punto P(– 20’9, 16’8) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS