ENCUENTRO DE LÓGICA Y COMPUTACIÓN NOCIONES CONJUNTISTAS A PARTIR DE LOGICAS POLIVALENTES Una introducción Universidad del Cauca. Popayán, abril 3 al 7 de 2006 Presentado por: Alberto Donado Núñez Universidad Pedagógica Nacional

PROPOSICIONES Y CONECTIVOS BIVALENTES El conjunto de valores de verdad para las proposiciones es 2 = { 0, 1 }     p = (p  0) y p  q = ( p  q )  ( q  p ) x  y = min { x, y } x  y = max { x, y}p  q =

PREDICADOS p : X  2 x  p( x ) De predicados a proposiciones: Reemplazando: p ( x 0 ) Cuantificando: (  x ) ( p ( x ) ) = min  p ( x ) : x  X  (  x ) ( p ( x ) ) = max  p ( x ) : x  X  A ACAC

CONJUNTOS Y SUS OPERACIONES { x  X : x  A  x  B }{ x  X : x  A  x  B } { x  X : x  A  x  B }{ x  X : x  A  x  B } ABAB ABAB (A  B) C (A  B) C

DEFINICIONES (Uso de los cuantificadores) (  x ) ( x  A  x  B ) Contenencia A  B (  x ) ( x  A  x  B ) Igualdad A = B (  x ) ( x  A  x  B ) A = X = B (  x ) ( x  A  x  B ) A y B cubren a X (  x ) ( x  A  x  B ) A y B no son disyuntos (  x ) ( x  A  x  B ) A o B son no vacíos (  x ) ( x  A  x  B ) A - B no es X (  x ) ( x  A  x  B ) A  B no es X

PROPOSICIONES Y CONECTIVOS EN ALGUNAS LÓGICAS POLIVALENTES UNA LOGICA TRIVALENTE El conjunto de valores de verdad es 3 = { 0, ½, 1 } 1½01 ½½0½ ½ 0  CONJUNCIONCONJUNCION

PROPOSICIONES Y CONECTIVOS EN ALGUNAS LÓGICAS POLIVALENTES UNA LOGICA TRIVALENTE El conjunto de valores de verdad es 3 = { 0, ½, 1 } ½½½ 1½10 1 ½ 0  DISYUNCIONDISYUNCION

1½01 ½10½ ½ 0  1½01 110½ ½ 0  UNA LOGICA TRIVALENTE El conjunto de valores de verdad es 3 = { 0, ½, 1 } IMPLICACIÓN DOBLE IMPLICACIÓN  p = p  PP 1½0P

UN TIPO ESPECIAL DE LÓGICAS POLIVALENTES El conjunto de valores de verdad es n =           yxsiy yx yx yxmaxyx yxinfyx 1,,

NOCIÓN DE 3 - CONJUNTO Predicado: : X  3. 3-Conjunto asociado: A = (A 0, A 1/2, A 1 ) A 1 = { x  X : ( x ) = 1 } A 1/2 = { x  X : ( x ) = 1/2 } A 0 = { x  X : ( x ) = 0 } A1A1 A 1/2 A0A0

OPERACIONES ENTRE 3 - CONJUNTOS INTERSECCIÓNINTERSECCIÓN A B A  BA  B A1A1 A 1/2 A0A0 B1B1 B 1/2 B0B0

OPERACIONES ENTRE 3 - CONJUNTOS UNIÓNUNIÓN A B A  BA  B A1A1 A 1/2 A0A0 B1B1 B 1/2 B0B0

OPERACIONES ENTRE 3 - CONJUNTOS CODIFERENCIACODIFERENCIA A B A  BA  B A1A1 A 1/2 A0A0 B1B1 B 1/2 B0B0

OPERACIONES ENTRE 3 - CONJUNTOS C O D I F. S I M E T R I C A A B A  BA  B A1A1 A 1/2 A0A0 B1B1 B 1/2 B0B0

AA  <(A 1  B 1 )  (A ½  B ½ )  (A 0  B 0 ), (A 1  B ½ )  ( A ½  B 1 ), (A 0  (B ½  B 1 ))  (B 0  (A ½  A 1 )) > A  B  <A 0  (A ½  (B ½  B 1 ))  (A 1  B 1 ), A 1  B ½, B 0  (A ½  A 1 ) > A  B  A  B  A  B  3 - Conjuntos correspondientesOperaciónConecti vo Operaciones en términos de las componentes

La descripción en componentes de las operaciones entre n - conjuntos, derivadas de los conectivos lógicos propios del álgebra n es la siguiente: Intersección: De manera más general:

Unión: El pseudocomplemento:

Implicación: Doble implicación:

CUANTIFICADORES Predicado:” ( x ) = x es sagaz” Conjunto de valores: n = El valor de verdad de (  x )( ( x )) es: min { ( x ) : x  X } El valor de verdad de (  x )( ( x )) es: máx { ( x ) : x  X } Nota: Los cuantificadores convierten los predicados polivalentes en nuevas proposiciones polivalentes con los que podemos armar nuevas definiciones.

DEFINICIONES A  B si y solo si (  x ) ( x  A  x  B ) A  1 B si y solo si (  x ) ( x  A  x  B ) = 1 Para el caso n = 3, da origen a e definiciones bivalentes así: 11

A  1/2 B si y solo si (  x ) ( x  A  x  B ) = 1/2 A  0 B si y solo si (  x ) ( x  A  x  B ) = 0  1/2 00

La 1 – contenencia entre 2 - conjuntos La 1 contenencia entre 4-conjuntos 11 11 11 11

LA IGUALDAD A = B si y solo si (  x ) ( x  A  x  B ) Para el caso de los n – conjuntos, la 1 – contenencia y la 1 – igualdad se obtiene cuando: Explorar con otras definiciones polivalentes y las correspondientes bivalentes que resultan.

Sobre lógicas construidas a partir de álgebras de Heyting 1 0 ½ ab a c b c cd