ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Y Xi b1 b1 + b2Xi Y = b1 + b2X Ahora, se aplicará el principio de máxima verosimilitud al análisis de regresión en un modelo de regresión simple Y = b1 + b 2X + u. 1

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Y Xi b1 b1 + b2Xi Y = b1 + b2X El marcador negro muestra el valor que tendría Y si X fuera igual a Xi y si no hubiera un término de error. 2

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Y Xi b1 b1 + b2Xi Y = b1 + b2X Sin embargo, se asumirá que existe un término de error en el modelo y que tiene una distribución normal como la que se muestra. 3

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Y Xi b1 b1 + b2Xi Y = b1 + b2X Respecto al marcador negro, la curva representa la distribución ex ante para u, es decir, su distribución potencial antes de que se genere la observación. Ex post, por supuesto, se fija en un cierto valor específico. 4

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Y Xi b1 b1 + b2Xi Y = b1 + b2X En relación al eje horizontal, la curva también representa la distribución ex ante de Y para esa observación, es decir, condicional en X = Xi. 5

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Y Xi b1 b1 + b2Xi Y = b1 + b2X Los valores potenciales de Y, cercanos a b1 + b2Xi, tendrán densidades relativamente grandes. 6

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Y Xi b1 b1 + b2Xi Y = b1 + b2X ... mientras valores deY relativamente lejanos de b1 + b2Xi tendrán densidades reducidas. 7

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Y Xi b1 b1 + b2Xi Y = b1 + b2X El valor medio de la distribución de Yi es b1 + b2Xi. Su desviación estándar es s, la desviación estándar del término error. 8

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Y Xi b1 b1 + b2Xi Y = b1 + b2X Por lo tanto, la función de densidad para la distribución ex ante de Yi es la que se muestra. 9

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD La función de densidad conjunta para las observaciones en Y es el producto de sus densidades individuales. 10

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Ahora, tomando b1, b2 y s como nuestra elección de variables, y tomando los datos de Y y X como dados, se puede reinterpretar esta función como la función de máxima verosimilitud b1, b2, y s. 11

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Elegiremos b1, b2, y s con el propósito de maximizar la verosimilitud, dados los datos de Y y X. Usualmente, es más fácil hacer esto de manera indirecta, maximizando el log-verosimilutd (log-likelihood). 12

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD El primer paso es descomponer la expresión como la suma de los logaritmos de los factores. 13

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Después, separamos el logaritmo de cada factor en dos componentes. El primer componente es el mismo en cada caso. 14

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Por lo tanto, el log-verosimilud (log-likelihood) se simplifica como se muestra. 15

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Para maximizar el log-verosimilitud (log-likelihood), se debe minimizar Z. Sin embargo, la elección de los estimadores de b1 y b2 para minimizar Z es exactamente lo que se hizo cuando se derivaron los coeficientes de regresión de mínimos cuadrados. 16

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Por lo tanto, para este modelo de regresión, los estimadores de máxima verosimilitud de b1 y b2 son idénticos a los estimadores de mínimos cuadrados. 17

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Como consecuencia, Z será la suma de los cuadrados de los residuales de los mínimos cuadrados. 18

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Para obtener el estimador de máxima verosimilitud de s, es conveniente reordenar la función log-verosimilitud (log-likelihood) como se muestra. 19

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Simplificando respecto de s, se obtiene la siguiente expresión. 20

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD La condición de primer orden para un máximo requiere que sea igual a cero. Por lo tanto, el estimador de máxima verosimilitud de la varianza es la suma de los cuadrados de los residuales, dividido entre n. 21

ESTIMACIÓN DE COEFICIENTES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Observe que esto implica un sesgo para muestras finitas. Para obtener un estimador no sesgado, se debe dividir entre n–k, donde k es el número de parámetros, en este caso 2. Sin embargo, el sesgo desaparece a medida que la muestra se vuelve más grande. 22

Copyright Christopher Dougherty 2000–2009 Copyright Christopher Dougherty 2000–2009. This slideshow may be freely copied for personal use. 02.02.09