Escuela Superior de Formación de Maestros “Ángel Mendoza Justiniano” Docente: Cintia Gutierrez Lazarte Matemática Tema: Progresiones Geométricas

Índice Concepto Ejemplos Fórmula General Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica Suma de términos infinitos de una progresión geométrica Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente Interpolación de términos en una progresión geométrica Producto de dos términos equidistantes Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

Concepto Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, denominada razón o factor de la progresión. Así,   es una progresión geométrica con razón igual a 3,porque: 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3 Y así sucesivamente.

Ejemplos La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40. La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4. La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que    en la definición.

Fórmula General an =a1 · r n – 1 Donde: a1 = Primer término an =Último término r = Razón n= Número de términos

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica: Sn = a1 + a2 +... + an-1 + an Cuya fórmula es: Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.

Suma de términos infinitos de una progresión geométrica Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1,   tiende hacia 0, de modo que:

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

Interpolación de términos en una progresión geométrica Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Producto de dos términos equidistantes Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos. ai . aj = a1 . an a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an 3, 6. 12, 24, 48, ... 48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12 144 = 144 =144

Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48,...