Método del perpendículo Resolución de triángulos oblicuángulos

Método del perpendículo. Todo triángulo oblicuángulo se puede descomponer en dos triángulos rectángulos al trazar el perpendículo p. Caso en que A<90º, B<90º.

Caso en que A>90º ó B>90º.

REGLAS - El perpendículo p, a ser posible, debe trazarse desde un ángulo diferente al ángulo conocido. - Al trazar el perpendículo p, en uno de los triángulos rectángulos deben conocerse dos de sus elementos. - Cuando los datos conocidos son los tres lados, el método se complica demasiado.

Resolver el triángulo esférico, con los datos conocidos: Ejemplo 1: Resolver el triángulo esférico, con los datos conocidos: A = 75º 40’ b = 42º 23’ c = 107º 14’ 1º) En el triángulo I conocemos: b , A. Calculamos: ……………. p, x, X. 2º) En el triángulo II ahora conocemos: p,y Calculamos: ……………. B, a, Y . C = X + Y

sin p = sin A sin b = 0.96887 * 0.67408 = 0.65309 → p = 40º 46’ 32”. Triángulo I sin p = sin A sin b = 0.96887 * 0.67408 = 0.65309 → p = 40º 46’ 32”. tan x = cos A tan b = 0.24756 * 0.91259 = 0.22592 → x = 12º 43’ 50”. → y = c – x = 94º 39’ 10” → X = 19º 04’ 54”

Triángulo II cos a = cos p cos y = 0.75727 * (-0.08111) = -0.06142 → a = 93º 24’ 30”. → B = 40º 52’ 08” → Y = 93º 02’ 33” → C = X + Y = 112º 07’ 27”

Resolver el triángulo esférico oblicuángulo, con los datos conocidos: Ejemplo 2: Resolver el triángulo esférico oblicuángulo, con los datos conocidos: b = 51º 08’ c = 49º 27’ A = 118º 42’ I) Trazando el perpendículo p desde el ángulo B. II) « « « p desde « « C.

→ I) Trazando p desde B: Calculamos: X, p, x. Cálculo de X: Triáng. Rectángulo I Calculamos: X, p, x. Cálculo de X: →

Cálculo de p: cos (90º - p) = sin c . sin (180º -A) → sin p = sin c . sin A sin p = 0.75983 * 0.87714 = 0.66647 → p = 41º 47’ 42” Cálculo de x: cos (180º - A) = cot c . cot (90º - x) → → tan x = -cosA . tan c = -(-0.48022) * 1.16878 → x = 41º 47’ 42”

cos(90º - p) = cot (90º- Y) . cot(90º - Y) → Triáng. Rectángulo II Calculamos: a, Y , C. y = x + b = 80º 26’ 15” Cálculo de a: cos a = sin(90º - p) . sin(90º - y) = cos p cos y = 0.12384 → a = 82º 53’ 08” Cálculo de Y: cos(90º - p) = cot (90º- Y) . cot(90º - Y) → → Y = 83º 35’ 38”

cos (90º - y) = cot(90º - p) . cot C → Triáng. Rectángulo II Cálculo de C: cos (90º - y) = cot(90º - p) . cot C → → C = 42º 11’ 43”

→ → X = 41º 06’ 14” Perpendículo desde C Triáng. Rectángulo I Calculamos: X, p, x . Cálculo de X: cos b = cot X . cot (180º - A) = → → X = 41º 06’ 14”

Cálculo de p: cos(90º - p) = sin b . sin(180º - A) → sin p = sin b sin A = 0.68249 → p = 43º 04’ 26” Cálculo de x: cos(180º - A) = cot b . cot(90º - x) → → tan x = - cos A . tan b = 0.59584 → x = 30º 47’ 18” c + x = y → y = 80º 14’ 18”

Triángulo rectángulo II Conocemos: p, y Calculamos: B, Y , a. Cálculo de a : cos a = sin(90º - p) . sin(90º - y) = cos p . cos y = 0.12384 → a = 82º 53’ 10”

cos(90º - p) = cot Y . cot(90º - y) → Cálculo de Y: cos(90º - p) = cot Y . cot(90º - y) → → Y = 83º 17’ 56” → Y – X = C = 42º 11’ 43” Cálculo de B : cos(90º - y) = cot B . cot(90º - p) → → B = 43º 29’ 26”

A < 90º; a + c < 180º → A + C < 180º ; Ejemplo 3: Resolver por el método del perpendículo, el triángulo esférico, con los datos conocidos: a = 58º 43’ ; c = 78º 29’ ; A = 40º 12’ . Solución: A < 90º; a + c < 180º → A + C < 180º ; a < c → A < C  Dos soluciones

Primera solución (C1 < 90º) Triángulo I: (Datos conocidos): c, A 1. Cálculo de X1 : → X1 = 80º 25’ 24”

(C1 < 90º) Triángulo I: (Datos conocidos): c, A 2. Cálculo de p1 : cos(90º - p1) = sin A . sin c → sin p1 = sin A . sin c = 0.63245 → p1 = 39º 13’ 52”

(C1 < 90º) Triángulo I: (Datos conocidos): c, A 3. Cálculo de x1 : cos A = cot c . cot (90º - x1) = tan x1 = cos A . tan c = 3.74855 → x1 = 75º 03’ 47”

(C1 < 90º) Triángulo II: (Datos conocidos): p1, y1. 4. Cálculo de y1 : cos a = sin (90º - y1) . sin (90º - y1) = cos y1 . cos p1 → → y1 = 47º 54’ 15”

(C1 < 90º) Triángulo II: (Datos conocidos): p1, y1. 5. Cálculo de Y1 : cos Y1 = cot a . cot (90º - p1) → → Y1 = 60º 15’ 25”

(C1 < 90º) Triángulo II: (Datos conocidos): p1, y1. 6. Cálculo de C1 : cos (90º - p1)= sin a . sin C1 → sin p1 = sin a . sin C1 → C1 = 47º 44’ 06”

B1 < 90º x1 + y1 = b1 = 122º 58’ 02” X1 + Y1 = B1 = 60º 15’ 25”

Triángulo I Conocidos: A, c Segunda solución: C2 > 90º . Y2 = Y1 = 60º 15’ 25” . p2 = p1 = 39º 13’ 52” y2 = x1 = 75º 03’ 47”

Triángulo II Conocidos: a, p2 Segunda solución: C2 > 90º . x2 = y1 = 47º 54’ 15” . X2 = X1 = 60º 15’ 25” 180º - C2 = C1 = 47º 44’ 06”

C2 = 132º 16’ 45” b2 = y2 – x2 = 27º 09’ B2 = Y2 – x2 = 20º 09’ 31”