Estadística Administrativa I Período 2014-2 Teorema del límite central Uso de la distribución muestral de medias

Teorema del Límite Central Si todas las muestras de un tamaño en particular se seleccionan de cualquier distribución muestral de medias se aproxima a una distribución normal. Esta aproximación mejora con muestras grandes.

Teorema del Límite Central Si la población tiene una forma sin sesgo, entonces, en el caso de cualquier tamaño de muestra, la distribución muestral de las medidas, también será sin sesgo. Si se tiene una población con algún tipo de sesgo, utilizando más de 30 muestras se podrá generar una distribución de medias sin sesgo. NOTA: Este concepto es útil para el desarrollo de los temas de Intervalos de confianza y Prueba de hipótesis.

Teorema del Límite Central En el ejemplo anterior, el cálculo de la Media de la Distribución de Medias generó un resultado bastante aproximado con relación a la Media Poblacional. Ambos resultados al redondearlos nos generó un valor igual; sin embargo, en el cálculo real, los datos no son iguales. Para establecer el error de estas diferencias, se utiliza una fórmula que recibe el nombre de “error estándar de la media” que se basa en la desviación estándar. 𝜇=7.33 𝜇 𝑋 =7.26 0.07

Error estándar de la media 𝜎 𝑋 Error estándar de la media El nombre completo de esta medida es “Desviación estándar de la distribución muestral de medias”, significa que calcula la desviación estándar de las medias resultantes en todas las muestras.

Error estándar de la media 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 Cuando se incrementa el tamaño de la muestra, el error estándar de la media se reduce debido a la mejor aproximación.

Ejemplo… Scrapper Elevator Co. Tiene 20 ejecutivos de ventas que distribuyen su producto en Estados Unidos y Canadá. La cantidad de elevadores vendidas el mes pasado se muestran en la tabla de la derecha. VENDEDOR VENTAS Juan 2 Pedro 3 Raquel Yesenia Marcia Roberto 4 Rebeca Elías Fernando Marvin 7 Francisco Leonardo Antonia 5 Tomás Rubén Esteban Ramiro Teresa Lucrecia Cruz

Ejemplo… Realizar las siguientes actividades Calcular la media y la varianza de la población Elegir 5 muestras aleatorias de 5 ejecutivos cada una Calcular la media de la distribución de medias Calcular el error estándar de la media

… Ejemplo Media Poblacional 𝜇= 67 20 =3.35 Varianza poblacional

… Ejemplo Esta la nueva muestra n=5 Determinar 5 muestras aleatorias de 5 elementos (ejecutivos) cada muestra Esta la nueva muestra n=5

… Ejemplo 4. Distribución de Medias La media de todas las medias es 3.28 contra 3.35 de la media de la población.

𝜎 𝑋 … Ejemplo 𝜎= 𝜎 2 = 1.6275 =1.2757 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 = 1.2757 5 =0.5705 𝜎 𝑋 Error estándar de la media Media de la población = 3.35 Desviación estándar de la población Error estándar de la media* 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 = 1.2757 5 =0.5705 𝜎= 𝜎 2 = 1.6275 =1.2757 * Desviación estándar de la distribución muestral de medias

Uso de la distribución muestral de las medias Para utilizar la distribución muestral de medias ya se debe conocer la población; solo es de extraer muestras y asumir que la distribución seguirá el comportamiento de la distribución de probabilidad normal con dos condiciones.

Uso de la distribución de muestras de las medias Cuando se sabe que las muestras se toman de poblaciones regidas por la distribución normal. En este caso, el tamaño de la muestra no constituye un factor. Cuando se desconoce la forma de la distribución de población o se sabe que no es normal; pero, la muestra contiene por lo menos 30 observaciones. En este caso, el teorema del límite central garantiza que la distribución muestras de las medias sigue una distribución normal.

Cálculo del valor de z de X cuando se conoce la desviación estándar de la población 𝑧= 𝑋 −𝜇 𝜎 𝑛 El valor de z se apoya en el error estándar (no en la desviación estándar)

Ejemplo 1. . . Una población normal tiene una media de 60 y una desviación estándar de 12. Usted selecciona una muestra aleatoria de 9. Calcular la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 63. 𝑃 𝑋>63 =𝑃 𝑧> 63−60 12 9 =𝑃 𝑧> 63−60 12 𝟑 =𝑃 𝑧> 63−60 𝟒 =𝑃 𝑧> 𝟑 4 =𝑃 𝑧>0.75 =0.5−0.2734 =0.2266

Ejemplo 2 . . . Una población normal tiene una media de 75 y una desviación estándar de 5. Usted selecciona una muestra aleatoria de 40. Calcular la probabilidad de que la media muestral sea menor que 74. 𝑃 𝑋<74 =𝑃 𝑧< 74−75 5 40 =𝑃 𝑧< 74−75 5 6.325 =𝑃 𝑧< 74−75 𝟎.𝟕𝟗𝟎𝟓𝟔𝟗 =𝑃 𝑧< −𝟏 0.791 =𝑃 𝑧<−1.26 =0.5−0.3962 =0.1038

Ejercicios del libro de texto Pagina 284 Ejercicio 17 Ejercicio 18 Página 285 - 288 Ejercicio 19 Ejercicio 23 Ejercicio 25 Ejercicio 27 Ejercicio 33 Ejercicio 35 Ejercicio 37

Fin de la presentación Muchas gracias