Recuerda: propiedades de la suma y el producto 1 Recuerda: propiedades de la suma y el producto En las operaciones algebraicas las letras representan números. Las propiedades de las operaciones con números siguen siendo válidas

Recuerda: propiedades de las potencias 2 Recuerda: propiedades de las potencias

Valor numérico de una expresión algebraica 3 Valor numérico de una expresión algebraica Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Si a y b son las medidas de los lados de un rectángulo, 2a + 2b es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo. Su valor numérico para a = 3 y b = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones: 2 . 3 + 2 . 2 = 10 b a

4 Monomios Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y potenciación de exponente natural. El grado de un monomio respecto a una letra es su exponente. El grado de un monomio es la suma de sus exponentes. Grado respecto de la letra x 8x2y5 Grado respecto de la letra y El grado de este monomio es 2 + 5 = 7

5 Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios El grado de un polinomio es el grado mayor de sus monomios. Cada monomio del polinomio se llama también término del polinomio. Según su números de términos se clasifican en binomios, trinomios,.... Término Grado del polinomio P = 8x5 – 6x4 – 3xy + xt – 2 Término de grado 2 Término independiente o término de grado 0

6 Polinomios iguales Dos polinomios son iguales cuando los términos que los forman son iguales ¿Qué valores han de tomar a, b y c para que sean iguales los polinomios a = 3 b = –5

Monomios: suma y diferencia 7 Monomios: suma y diferencia Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. La suma o diferencia de varios monomios semejantes es otro monomio semejante. 12x2y – 3x2y + 6x2y = (12 – 3 + 6)x2y = 15x2y 5x2 + 7xz = 5x2 + 7xz 12x2y – 3x2y + 6x2y + 5x2 + 7xz = 15x2y + 5x2 + 7xz Interpretación de la suma de monomios x 5 + 3 5 x 3 x 5x 3x 8x + = Semejantes 5 x x 5 y y 5x + y2 = No semejantes 5x + y2

Polinomios: suma y diferencia 8 Polinomios: suma y diferencia La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado: por la suma o diferencia de los términos semejantes de ambos, y por los términos no semejantes de ambos. P(x) = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4 Q(x) = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x P(x) + Q(x) = x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4 P(x) = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4 Q(x) = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x P(x) – Q(x) = x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4

El producto de monomios es otro monomio que tiene: 9 Producto de monomios El producto de monomios es otro monomio que tiene: como coeficiente, el producto de los coeficientes. como parte literal, las letras que aparecen en los monomios con exponente igual a la suma de los exponentes con que figura en los factores. x3 . x5 = x3 +5 = x8 5x2 . 7x4 = 5 . x2 . 7 . x4 = 35 x6 –2xy2 . 5x2y3 . 3xt = (–2 . 5 . 3) (x . x2 . x) (y2 . y3) t = –30x4y5t El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio 2xy2 . (3x – 2y + 4) = (2xy2 . 3x) + (2xy2 . (– 2y) + (2xy2 . 4) = 6x2 y2 – 4xy3 + 8xy2

Producto de polinomios 10 Producto de polinomios El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes –7x3 + 3x2 – 0x + 2 2x2 + 3x – 1 7x3 – 3x2 + 0x – 2 – 21x4 + 9x3 – 0x2 + 6x –14x5 + 6x4 + 0x3 + 4x2 –14x5 –15x4 +16x3 + x2 + 6x – 2

Interpretación geométrica de algunos productos 11 Interpretación geométrica de algunos productos

Identidades notables: suma por diferencia de monomios 12 Identidades notables: suma por diferencia de monomios La suma por diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo a + b a – b – ab – b2 a2 + ab a2 – b2 (3x + y)(3x – y) = (3x)2 – (y)2 = 9x2 – y2 (–5x + 2y)(–5x – 2y) = (–5x)2 – (2y)2 = 25x2 – 4y2 (–5x2 + 2y3)(–5x – 2y) = (–5x2)2 – (2y3)2 = 25x4 – 4y6

(2x + y)2 = (2x)2 + 2 . 2x . y + (y)2 = 4x2 +4xy + y2 13 Cuadrado de un binomio El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo a + b a + b ab + b2 a2 + ab a2 +2ab + b2 (2x + y)2 = (2x)2 + 2 . 2x . y + (y)2 = 4x2 +4xy + y2 (5x – 3t)2 = (5x + (– 3t))2 = (5x)2 + 2 . 5x . (–3t) + (–3t)2 = 25x2 – 30xt + 9t2 (– 3x + 2z)2 = (– 3x)2 + 2 . (–3x) . 2z + (2z)2 = 9x2 – 12xz + 4z2 a – b a – b – ab + b2 a2 – ab a2 – 2ab + b2

Interpretación geométrica del cuadrado de la suma y diferencia 14 Interpretación geométrica del cuadrado de la suma y diferencia

15 Cubo de un binomio El cubo de un binomio es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo. a2 + 2ab + b2 a + b a2b + 2ab2 + b3 a3 + a2b + ab2 a3 + 3a2b +3ab2 +b3 (2x + y)3 = (2x)3 + 2 . (2x)2 . y + 2 . 2x . y2 + (y)3 = 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 (x – 3h2)3 = (x + (– 3h2))3 = x3 + 3 . x2 . (–3h2) + 3 . x . (–3h2)2 + (–3h2)3 = = x3 – 9x2 h2 + 27xh4 –27h6