Flujo Eléctrico El campo eléctrico debido a una distribución continua de cargas siempre puede calcularse a partir del campo generado por una carga puntual, aunque el cálculo de las integrales necesarias puede resultar laborioso y complejo. Ahora presentaremos un método alternativo basado en el concepto de líneas de fuerza, concepto expresado cuantitativamente por Carl Friedrich Gauss, mediante una cantidad llamada flujo. El flujo permite elaborar una imagen de líneas de fuerza que fluyen a través de una superficie.

¿Qué información nos proporciona el mapa de campo eléctrico? La dirección del campo eléctrico La intensidad del campo eléctrico Tangente a la línea de campo en un punto dado Es directamente proporcional con la densidad de líneas de campo.

F: es el flujo eléctrico en la superficie ds, normal al campo eléctrico. La superficie ds no debe alterar las características del campo eléctrico Superficie ds normal al campo eléctrico

Elemento infinitesimal de superficie que es atravesada por lineas de campo eléctrico Vector unitario normal a ds Campo eléctrico en el punto del espacio donde se encuentra ds Flujo eléctrico (cantidad de líneas de campo) que atraviesa la superficie ds

El flujo eléctrico es una cantidad escalar y su signo depende de si entra o sale de la superficie. Campo eléctrico n1 n2 S2 S1 El flujo eléctrico en la superficie S2 es positivo, las líneas de campo salen de la superficie El flujo eléctrico en la superficie S1 es negativo, las líneas de campo entran a la superficie

Compare el flujo eléctrico en las superficies S1 y S2. (S1=S2) Sa Compare el flujo eléctrico en las superficies Sa y Sb. (Sa y Sb son superficies cerradas) Sb

Líneas de campo eléctrico Ejemplo Sea Q una carga puntual positiva. Obtenga el flujo eléctrico en una superficie esférica de radio R en cuyo centro se encuentra la carga Q. Superficie esférica imaginaria para el campo eléctrico Líneas de campo eléctrico

Para calcular el flujo eléctrico debemos conocer el campo eléctrico en todo punto de la superficie, en este caso el campo eléctrico es generado por la carga puntual Q, por lo que el campo eléctrico a la distancia R de la carga es: El vector unitario normal a la superficie esférica está en la misma dirección que el campo eléctrico: Se reemplaza en la definición de flujo: Llevando las constantes fuera de la integral y desarrollando el producto punto

donde Reemplazando se tiene que: Observe que el flujo eléctrico no depende del radio de la esfera S1 y S2 son atravesadas por igual cantidad de líneas de campo. S1 S2

Las líneas de campo que pasan por Sa y por Sb son iguales, por lo tanto el flujo en ambas superficies es igual, es decir no depende de la ubicación de Q en el interior de la superficie S Sa Sb Sa Las líneas de campo que atraviesan a ambas superficies son iguales, por lo tanto el flujo no depende de la forma de la superficie. Sb

En la superficie Sb el flujo es cero, las líneas que entran también salen de ella. Las observaciones anteriores nos permiten concluir que el flujo eléctrico en una superficie cerrada solo depende de la carga total en el interior de dicha superficie.

Ley de Gauss para el campo eléctrico Como el flujo eléctrico en una superficie cerrada sólo depende de la carga total en su interior, proporciona una valiosa herramienta de cálculo, que permitirá obtener el campo eléctrico Y si S es cerrada Se reunen los dos resultados y se obtiene:

ES: Función campo eléctrico, válida en todo punto de la superficie S Carga total en el interior de la superficie S S, es una superficie cerrada que no altera las características del campo eléctrico en la región, suele denominarse “Superficie Gaussiana Permitividad eléctrica del vacio ds: elemento infinitesimal de la superficie S n: vector unitario normal a la superficie ds LA LEY DE GAUSS

Sea una varilla infinita recta con densidad de carga l constante. Ejemplo: Sea una varilla infinita recta con densidad de carga l constante. Obtener el campo eléctrico a una distancia r de la varilla Aquí se desea calcular el campo eléctrico P r Varilla cargada Para obtener el campo eléctrico es necesario seguir los siguientes pasos

1º.- Del análisis de la simetría de la distribución de cargas, deducir la dirección del campo eléctrico en el punto P, para ello se trabaja con dos segmentos infinitesimales de la varilla simétricos respecto de P dE2 dE1 dq1 dq2 En este caso el campo eléctrico en P, es perpendicular a la varilla.

2º.- ¿Qué otros puntos del espacio tienen igual intensidad de campo eléctrico e igual dirección respecto de la varilla, que el punto P? En este caso, todos los puntos que están a la misma distancia de la varilla, dichos puntos son el lugar geométrico de un manto cilíndrico. Varilla cargada Con el manto cilíndrico se construye una superficie gaussiana, para ello se cierra la superficie agregando las bases del cilíndro. r

Líneas de campo que atraviesan la superifice Superficie gaussiana de radio r y longitud L

Recordemos que: En este caso la integral hay que descomponerla en tres parte, una para cada base y una para el manto. Pero en las bases el campo eléctrico es perpendicular a los vectores unitarios por tanto en ellas el flujo es cero. La ecuación se reduce a:

En el manto,el campo eléctrico es radial a la varilla y de intensidad constante. En el manto el vector unitario a ds, también es radial La carga en el interior de la cilindro gaussiano, corresponde a la carga en el trozo de varilla que queda en el interior, luego: Luego Reemplazando: