Ley de Gauss y su aplicación en campos eléctricos generados por distribuciones de carga con cierta simetría.

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1 Ley de Gauss y su aplicación en campos eléctricos generados por distribuciones de carga con cierta simetría.

2 + Para una carga puntual:

3 + podemos utilizar una esfera, concéntrica con la carga, como superficie gaussiana.

4 Comenzamos aplicando la definición de flujo: E=E.SE=E.S + ds La superficie no es plana: la partimos en pequeños trozos de modo que cada uno sea casi plano.

5 Determinamos la contribución de cada trozo: + ds E d  = E.ds d  = E.ds.cos0° Cos 0°=1 d  = E.ds El campo y el vector superficie son colineales

6 Entonces, cada pequeño trozo aporta: d  = E.ds + ds Para tener el flujo a través de toda la superficie tenemos que sumar todas las contribuciones s d  = s E.ds

7 + Entonces: s d  = s E.ds  = s E.ds  = E. s ds Como E tiene el mismo valor para todos los trozos, se puede sacar de factor común.

8 + S = 4  R 2 entonces  = E.4  R 2 La suma de todos los pequeños trozos de superficie es igual a la superficie de la esfera: s ds = S

9 Ahora aplicamos la Ley de Gauss E=E= Q neta   Q neta = Q entonces  E = Q  

10 E=E= Q    =E.4  R 2 Juntando los dos resultados tenemos: g E.4  R 2 = Q  

11 Despejando el valor del campo tenemos: Ecuación para el valor del campo eléctrico de una carga puntual Q, a una distancia R de su centro. Q  Q  1 4  R 2 E =

12 1 4    E = Q R 2 La misma ecuación se puede escribir así: 4  viene de la simetría esférica que posee esta distribución de cargas   del medio en el que se encuentra la carga (generalmente aire o vacío, de no ser así habría que multiplicar a   por un número, llamado constante dieléctrica, que tiene valores diferentes según el material aislante que estemos considerando – agua, aceite,... - obteniendo así el valor de  para ese medio. El aire tiene una constante dieléctrica de 1,00 )

13 1 4    =9,0x10 9 Nm 2 /C 2 Si trabajamos en el aire o el vacío, ese factor es constante y tiene un valor de: Entonces la ecuación queda: K= K. E = Q R 2

14 Carga puntual Línea de carga  Qtotal/L  densidad lineal de carga Plano cargado  = Qtotal/S  = densidad superficial de carga Capacitor de placas paralelas K. E = QR2 QR2  R   E =    E =     E = Ecuaciones obtenidas con este método para algunas distribuciones de carga:

15 K. E = QR2 QR2 Ejemplo 1: Calcular el módulo del campo eléctrico generado por una carga puntual de  C a una distancia de 2,0cm de su centro. Utilizaremos la ecuación para cargas puntuales. Convertimos las unidades al sistema internacional  C = 3,0x10 -6 C 2,0 cm = 2,0x10 -2 m Colocamos los valores en la ecuación: E= 9,0x10 9 Nm 2 /C 2. 3,0x10 - 6 C (2,0x10 -2 m) 2 E= 9,0.3,0x10 9.10 - 6 xCNm 2 /C 2 4,0 10 - 4 m 2 E= 6,8x10 9 - 6 + 4 N/C E= 6,8x10 7 N/C

16 K. E = QR2 QR2 Ejemplo 2: Determinar el valor y signo de una carga que ubicada en P genera el campo eléctrico de 60N/C que se indica en la figura. Nuevamente utilizaremos la ecuación para cargas puntuales. Q= 60N/C.( 3,0x10 -2 m) 9,0x10 9 Nm 2 /C 2 Q= - 6,0x10 -12 C P E d=3,0cm Sólo que esta vez tendremos que despejar la carga. E. Q = R2 K R2 K La carga es negativa: el campo generado por la misma apunta hacia ella (desagüe). Colocamos los valores en la ecuación:

17 K. E = QR2 QR2 Ejemplo 3: Determinar el campo eléctrico en A,B y C generado por dos cargas puntuales de  C y -2,0  C respectivamente, ubicadas como se muestra en la figura. Otra vez utilizaremos la ecuación para cargas puntuales. Para determinar el módulo del campo generado por cada carga en cada lugar. Realizando el mismo proceidmiento con la carga 2 y haciendo las cuentas, obtenemos: E A 1 = 2,7x10 6 N/C; E A 2 = 0,2x10 6 N/C E B 1 = 2,7x10 6 N/C; E B 2 = 1,8x10 6 N/C E C 1 = 0,3x10 6 N/C; E C 2 = 1,8x10 6 N/C 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 x(m) A Q 1 B Q 2 C E c 1 = 9,0x10 9 Nm 2 /C 2. 3,0x10 - 6 C (0,30m) 2 E B 1 = E A 1 porque la distancia es igual. E A 1 = 9,0x10 9 Nm 2 /C 2. 3,0x10 -6 C (0,10m) 2 Ahora vamos a representar: 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 x(m) A Q 1 B Q 2 C E A E A =2,5x10 6 N/C ¿Cómo es el Campo en C? EA1EA1 E A 2 E B E B =4,5x10 6 N/C EB1EB1 EB2EB2

18 E = K. QR2 QR2 Ejemplo 4: Determinar el campo eléctrico generado por dos cargas puntuales de  C y -2,0  C ubicadas en (x=0,10; y=0,00) y (x=0,00; y=0,10) respectivamente, en A (x=0,00; y=0,00); B (x=0,20; y = 0.00) y en C (x=0,30; y=0,10) Ecuación para cargas puntuales. Determinamos el módulo del campo generado por cada carga en cada lugar. Realizando el mismo proceidmiento con la carga 2 y haciendo las cuentas, obtenemos: E A 1 = 2,7x10 6 N/C; E A 2 = 1,8x10 6 N/C E B 1 = 2,7x10 6 N/C; E B 2 = 0,3x10 6 N/C E C 1 = 0,5x10 6 N/C; E C 2 = 0,2x10 6 N/C E c 1 = 9,0x10 9 Nm 2 /C 2. 3,0x10 - 6 C (0,20m) 2 +(0,10m) 2 E B 1 = E A 1 porque la distancia es igual. E A 1 = 9,0x10 9 Nm 2 /C 2. 3,0x10 -6 C (0,10m) 2 E A = √ [(2,7x10 6 N/C ) 2 + (1,8x10 6 N/C) 2 ] E A = 4,9x10 6 N/C  Tg(  = 1,8/2,7  = 34° ¿Cómo es El Campo en B? y(m) 0,10 C 0,00 A B 0,00 0,10 0,20 0,30 x(m) E A 1 EB1EB1 EAEA  zoom 27° Calculamos el campo con el Teorema del Coseno: E C =√ [E c1 2 +E c2 2 - 2E C1 E C2 cos27°] Y el ángulo entre E C y E C 1 con el Teorema del Seno:(sen27°/EC)=(sen  /EC2 ) Sen  =0,28;  =16° E C =0,33x10 6 N/C Formando un ángulo Con la horizontal de 16°+27°=43° ECEC E C 1

19    E = Ejemplo 5: Determinar el campo eléctrico en la zona central de una placa conductora de 0,500m 2 de superficie, que tiene una carga total de -1,77nC. Ecuación para planos cargados. E=(-3,54x10 -9 C/m 2 )/(2x8,85x10 -12 C 2 /Nm 2 ) E=2,00x10 2 N/C 1 E Representamos el campo perpendicular a la placa y entrante (carga negativa: desagüe) Primero determinamos  = (Qneta/Supericie)  = (-1,77x10 -9 C/0,50m 2 )  = -3,54x10 -9 C/m 2

20    E = Ejemplo 6: Determinar el campo eléctrico resultante en P. El plano de la figura tiene una densidad lineal de carga de 5,31nC/m2 y la esferita tiene una carga de 4,0nC. La distancia entre la carga y P es de 0,30m. Ecuación para planos cargados. Ecuación para cargas puntuales E=(5,31x10 -9 C/m 2 )/(2x8,85x10 -12 C 2 /Nm 2 ) E=3,00x10 2 N/C 1 E = K.Q R 2 E=(9,0x10 9 Nm 2 /C 2 x4,0x10 9 C)/(0,30m) 2 E=4,00x10 2 N/C plano P Eplano Eq EP EP = 5,00x10 2 N/C y forma un ángulo con la horizontal de 37°