Tópicos Especiales en Computación Numérica La Universidad del Zulia Facultad de Ingeniería División de Estudios para Graduados Asignatura: Tópicos Especiales en Computación Numérica Cálculo de raíces de funciones Métodos de intervalos Métodos abiertos Prof. Luis Zerpa, M.Sc. Email: lzerpa@ica.luz.ve

Motivación La formula cuadrática: Se usa para resolver: Se define a la raíz de una función como el valor de x que hace f(x) = 0

Métodos empleados antes de la era de las computadoras para determinar raíces Graficar la función y determinar donde cruza el eje de las x  método poco preciso Ensayo y error. Se escoge un valor de x y se evalúa si f(x) = 0  Ineficiente Se necesitan estrategias sistemáticas para moverse hacia la raíz verdadera

Raíces de ecuaciones en el área de diseño en ingeniería Ecuación desarrollada a partir de la segunda Ley de Newton para calcular la velocidad de caída de un paracaidista Se quiere determinar el coeficiente de arrastre para un paracaidista de masa dada, para alcanzar una velocidad prescrita en un periodo de tiempo dado En este caso c es implícita, no hay forma de reordenar la ecuación para despejar c Es necesario aplicar un método numérico para determinar la raíz

Antecedentes matemáticos necesarios Ecuaciones algebraicas: una función y = f(x) es algebraica si puede expresase como, donde fi es un polinomio de orden i-ésimo en x Los polinomios son un caso simple de ecuaciones algebraicas Ecuaciones trascendentales: es una que no es algebraica Incluye funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.

Antecedentes matemáticos necesarios Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas. Por lo tanto, los métodos numéricos para determinar raíces, caen en dos áreas: Determinación de raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales: determinan el valor de una raíz simple de acuerdo a un conocimiento previo de su posición aproximada Determinación de todas las raíces reales y complejas de un polinomio

Métodos para el cálculo de raíces Métodos que usan intervalos: estos empiezan con suposiciones que encierran a la raíz y reducen sistemáticamente el ancho del intervalo (e.g., bisección y falsa posición) Métodos abiertos: son más eficientes computacionalmente que los métodos que usan intervalos, pero no aseguran convergencia (e.g., iteración de punto fijo, Newton-Raphson, secante)

Métodos de intervalos Estos métodos aprovechan el hecho de que una función cambia de signo en la vecindad de una raíz Los métodos de intervalos necesitan dos valores iniciales, que deben encerrar a la raíz Emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta

Métodos de intervalos Si la función en los extremos del intervalo f(xu) y f(xl) tienen signos opuestos existe un número impar de raíces Si tienen el mismo signo no hay raíces o hay un número par de raíces Pero esto no se cumple en el caso de funciones tangenciales o discontinuas

Método de Bisección Si f(x) es real y continua en el intervalo de xl a xu y, f(xl) y f(xu) tienen signos opuestos, f(xl) * f(xu) < 0, entonces hay al menos una raíz entre xl y xu Procedimiento: Se divide el intervalo en el punto medio en dos subintevalos de igual tamaño La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre el cambio de signo El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación

Método de Bisección El cálculo termina cuando el error relativo aproximado, a, es menor que un valor prefijado, s En el método de bisección la raíz verdadera se halla en algún lugar dentro del intervalo de (xl a xu)/2 = x/2. Por lo tanto, la raíz debe situarse dentro ± x/2 de la estimación Debido a que x/2 = xrk – xrk-1, a proporciona un limite superior exacto sobre el error real La ecuación de error relativo aproximado se puede reordenar permitiendo calcular el error estimado en la primera iteración

Método de Bisección Con este método se puede determinar el número de iteraciones requeridas para obtener un error estimado dado Error inicial Error 1ra iteración Formula general que relaciona el error con el número de iteraciones, n Teniendo un error deseado, Ea,d 

Método de Bisección FUNCTION Bisect (xl,xu,es,imax,xr,iter,ea) fl = f(xl) DO xrold = xr xr = (xl + xu)/2 fr = f(xr) iter = iter + 1 IF xr ≠ 0 THEN ea = ABS((xr-xrold)/xr)*100 END IF test = fl*fr IF test < 0 THEN xu = xr ELSE IF test > 0 THEN xl = xr fl = fr ELSE ea = 0 IF ea < es OR iter > imax EXIT END DO Bisect = xr END Bisect

Método de la falsa posición Los métodos numéricos son mejores a medida que usan más información Este método además del intervalo que encierra la raíz, utiliza los valores de la función en los extremos del intervalo, poniendo más énfasis en el extremo cuyo valor funcional está más cercano a cero Lo que hace es unir con una línea recta f(xl) y f(xu), la intersección de esta línea con el eje de las x representa una mejor estimación de la raíz

Método de la falsa posición El hecho de sustituir la función por una línea recta da una “posición falsa” de la raíz Usando triángulos semejantes la intersección de la línea recta con el eje x se estima como, f(xu) xr xl xu f(xl)

Método de la falsa posición Procedimiento Se calcula xr Se evalúa f(xr) Se actualiza xl o xu según el signo de f(xr) Desventaja del método: Dependiendo de la función puede converger lentamente Ejemplo, f(x) = x10 – 1, xl = 0, xu = 1.3 No es posible hacer generalizaciones con los métodos de obtención de raíces

Métodos abiertos Este tipo de métodos para la obtención de raíces se basan en formulas que requieren únicamente un sólo valor de inicio, x0, o que empiecen de un par de puntos, pero que no necesariamente encierran a la raíz Algunas veces se alejan de la raíz verdadera a medida que aumenta el número de iteraciones Pero cuando convergen lo hacen mucho más rápido que los métodos de intervalos

Método iteración simple de punto fijo Los métodos abiertos emplean una fórmula que predice la raíz Tal fórmula puede ser desarrollada para una simple iteración de punto fijo (o también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva) al rearreglar la ecuación f(x) = 0 de tal modo que x quede del lado izquierdo de la ecuación, x = g(x) Esta transformación se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas o simplemente agregando x a cada lado de la ecuación original La utilidad de esta ecuación es que proporciona una fórmula para predecir un nuevo valor de x en función del valor anterior de x

Método iteración simple de punto fijo Dado un valor de inicio, xi, se obtiene una nueva aproximación con, El error estimado de esta ecuación se puede calcular como,

Método iteración simple de punto fijo Ejemplo: f(x) = e-x – x i xi Error Aprox.(%) Error verdadero (%) 1 1.0000000 100.00 76.32 2 0.3678794 171.83 35.13 3 0.6922006 46.85 22.05 4 0.5004735 38.31 11.76 5 0.6062435 17.45 6.89 6 0.5453958 11.16 3.83 7 0.5796123 5.90 2.20 8 0.5601155 3.48 1.24 9 0.5711431 1.93 0.71 10 0.5648793 1.11 0.40 11 0.5684287 0.62 0.23 12 0.5664147 0.36 0.13 13 0.5675566 0.20 0.07 14 0.5669089 0.11 0.04 15 0.5672762 0.06 0.02 16 0.5670679 0.01 Obsérvese que el error relativo porcentual verdadero en cada iteración del ejemplo es casi proporcional (por un factor entre 0.5 y 0.6) al error de la iteración anterior. Esta propiedad, conocida como convergencia lineal, es característica de la iteración de punto fijo

Método iteración simple de punto fijo El teorema de la derivada del valor medio establece que si una función g(x) y su derivada son continuas sobre un intervalo a ≤ x ≤ b, entonces existe al menos un valor de x =  dentro del intervalo donde Si se hace a = xi y b = xr, se puede llegar a, Sustituyendo en (1) Si el error verdadero para la iteración i es Entonces se puede escribir Si  el error disminuye Si  el error crece Convergencia Teorema de punto fijo: la iteración de punto fijo converge si, en la región de interés Demostración La ecuación iterativa, Suponiendo que la ecuación verdadera es Restando estas dos ecuaciones (1)

Método de Newton-Raphson Es de los métodos más utilizados para localizar raíces Si el valor inicial de la raíz es xi, entonces se puede extender una tangente de la función desde el punto [xi, f(xi)] El punto donde ésta tangente cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz f(xi) xi xr

Método de Newton-Raphson Se aproxima la función con una serie de Taylor truncada en el término de segundo orden El desarrollo del método con base en la serie de Taylor proporciona un conocimiento teórico relacionado con la velocidad de convergencia expresado como: Ei+1 = O(Ei2) f(xi) xi xr

Método de Newton-Raphson Ejemplo: f(x) = e-x – x i xi Error Aprox.(%) Error verdadero (%) 1 0.50000000 100.00 11.84 2 0.56631100 11.71 0.15 3 0.56714317 0.000022 4 0.56714329 0.000000072 Obsérvese que el error relativo porcentual verdadero en cada iteración disminuye mucho más rápido que con el método de iteración de punto fijo. De esta forma el error debe ser casi proporcional al cuadrado del error anterior.

Método de Newton-Raphson Desventajas: Cuando se encuentran pendientes cercanas a cero el método de Newton-Raphson se aleja de la raíz verdadera Si encuentra pendiente = 0, hay división por cero, i.e., la solución se dispara horizontalmente y jamás toca el eje x Regla para convergencia xi

Método de Newton-Raphson Derivación y análisis del error del método de Newton-Raphson La expansión en serie de Taylor se puede representar como: Donde  se encuentra en alguna parte dentro del intervalo [xi+1; xi] Al utilizar todos los términos de la serie de Taylor para obtener el resultado exacto, xi+1 = xr Sustituyendo este valor, junto con f(xr) = 0 Restando la expresión truncada de la serie de Taylor de esta expresión, da

Método de Newton-Raphson Notando que el error es La expresión queda, Si se supone que hay convergencia, entonces xi y  se deberían aproximar a la raíz xr y la ecuación anterior se puede reordenar para obtener Convergencia cuadrática