Angel Mendoza Justiniano ESCUELA SUPERIOR DE MAESTROS Angel Mendoza Justiniano Matematica 1º “A” Docente: Limber Infante Tola

LA RECTA 1 Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta 2 Características de la recta 3 Geometría analítica de la recta en el plano 3.1 Ecuación de la recta 3.2 Forma simplificada de la ecuación de la recta 3.3 Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica) 3.4 Ecuación Normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse) 3.5 Ecuación Normal de la recta (Segunda forma) 3.6 La recta en coordenadas cartesianas 3.6.1 Rectas notables 3.6.2 Rectas que pasan por un punto 3.6.3 Rectas perpendiculares

1 Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta Una línea es una longitud sin anchura Los extremos de una línea son puntos Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado

2 Características de la recta La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana. La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

3 Geometría analítica de la recta en el plano La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

3.1 Ecuación de la recta En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:   Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto- pendiente):

3.2 Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y − y1 = m (x − x1):

3.3 Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica) Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes: y y

3.4 Ecuación Normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse) Esta es la forma normal de la recta: Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. y el ángulo omega ω es el formado entre la recta y el eje de las ordenadas. Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.  

3.5 Ecuación Normal de la recta (Segunda forma) Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

3.6 La recta en coordenadas cartesianas Unos ejes de coordenadas lo forman dos ejes perpendiculares entre sí, que se cortan en el origen. El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas. El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas. El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.

3.6.1 Rectas notables La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general x = xv (constante). La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general y = yh (constante). Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación: Dos rectas cualesquiera:

3.6.2 Rectas que pasan por un punto La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe: Y ha de pasar por el punto (x0,y0),luego tendrá que cumplirse: Despejando b, tenemos esta ecuación: Sustituyendo b en la ecuación general de la recta: Ordenando términos:

3.6.3 Rectas perpendiculares Dada una recta: Se trata de determinar que rectas: son perpendiculares a la primera. Sabiendo que: Siendo α el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo (α + 90) con la horizontal, por trigonometría sabemos que: y si la pendiente de la primera recta es: la de la segunda debe de ser: Esto es, dada una recta cualquiera: cualquier recta de la forma: