Posiciones relativas de dos planos Siendo los planos de ecuaciones:
El ángulo que en general forman dichos planos viene dado por la ecuación:
Cuando los planos son paralelos, los vectores directores son linealmente dependientes y, por lo tanto, uno de ellos se puede poner como combinación lineal del otro. Esto se expresa en la forma:
Cuando los planos son perpendiculares, se tiene y la ecuación (2) toma la forma:
Ecuación general de la recta o lo que es igual: A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0 Ecuación general de la recta Conociendo un punto de una recta y su vector director, la ecuación que la determina toma la forma:
Si consideramos la recta en el espacio, la ecuación que la determina es: A partir de la ecuación (3) podemos obtener la ecuación de la recta en forma paramétrica. Haciendo la relación de proporcionalidad igual a t, nos queda :
Una recta puede venir determinada por la intersección de dos planos:
Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas El ángulo formado por dos rectas es el mismo que el formado por sus vectores directores y viene dado, como en el caso de los planos, por la ecuación:
Cuando dos rectas son paralelas sus vectores directores son linealmente dependientes y, por tanto, son proporcionales. La condición de paralelismo entre rectas será, por tanto:
Cuando dos rectas son perpendiculares, sus cosenos directores tienen producto escalar nulo, lo que se traduce por la ecuación: a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = 0 Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.- Siendo, respectivamente:
Los vectores directores de una recta y un plano, sabemos que el vector director de la recta lleva la misma dirección que esta y que el vector director del plano es perpendicular al plano. Las condiciones de perpendicularidad o paralelismo entre ellos será, por tanto: Paralelismo : A.a + B.b + C.c = 0 Perpendicularidad :
http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/EcuPlanRec.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/node15.html