Generación de variables aleatorias MODELOS Y SIMULACION Generación de variables aleatorias

Mapa Conceptual del curso Modelado y Simulación Simulación x Eventos Proyectos Simulación Colas en Serie Colas con un servidor Colas en Paralelo Inventarios Generación de VA Modelos Complejos

Generación de Variables Aleatorias Mapa Conceptual Xi+1=(aXi+c) mod m Números Aleatorios Validación de Series de NA Parámetros Variables U (0,1) Generación de Variables Aleatorias

Motivaciones Las fuentes de aleatoriedad tienen diferentes distribuciones de probabilidad. No necesariamente todas las distribuciones son uniformes. Es necesario generar números con distribuciones de probabilidad particulares. Intuitivamente las Variables Aleatorias se generan desde los Números Aleatorios.

Objetivo Exponer las técnicas para la generación de variables aleatorias.

Tabla de Contenido Método de la transformada inversa

Métodos Método de la Transformada Inversa

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

Transformada Inversa Sea f(x) la distribución a generar. Utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución f(x). F(x)  (0-1) F(x) = R x = F-1 (R) Dificultad: Algunas veces es difícil encontrar la transformada inversa

Transformada Inversa x F(x) R x = F-1(R) x f(x) x Distribución uniforme F(x) R x = F-1(R) x f(x) x x

Ejemplo 1 λ e-λx si x ≥ 0 0 si x ≥ 0 f(x) = F(x) = ∫λ e-λt dt = 1 - e-λx Integral de 0 a x R = 1 - e-λx e-λx = 1 – R e-λx = 1 - R x = - 1/λ ln R R y 1 – R tienen una distribución uniforme Por lo que es indistinto usarlos

Ejemplo 2 1 . b - a si a ≤ x ≤ b si a > x > b f(x) = 1 . b - a 1 . b - a si a ≤ x ≤ b si a > x > b f(x) = 1 . b - a x - a. b - a F(x) = ∫ dt = x - a. b - a = R x = a + (b – a) R

Ejemplo 3 Diseñar un generador de variables aleatorias para: e-55x x! Se trata de una distribución Poisson

Generando la distribución de frecuencias de la VA obtenida Ejemplo 3 Calculando la distribución de probabilidad y la distribución acumulada. Generando 50 números aleatorios distribuidos uniformemente y buscando en P(X < x) Generando la distribución de frecuencias de la VA obtenida

Ejercicio 4 Diseñar un programa en EXCEL para generar VA con distribución: Poisson Uniforme Exponencial Normal Empírica

Ejercicio 5 Para la siguiente distribución de probabilidad f(x)= ⅔x , si 0 ≤ x < 1 ⅔ , si 1 ≤ x < 1½ 1⅔ - ⅔x , si 1½ ≤ x < 2½ 1 ½ 1½ 2 2½ ⅔ x f(x )

Ejercicio 5 Calcular: La función de distribución acumulada (defina esta función por cada rango), apoye sus resultados con una gráfica. La función para generar valores aleatorios, dado una variable aleatoria R con distribución uniforme. Generar 10 valores de la variable aleatoria para los siguientes números aleatorios. 0.8191 0.7084 0.4739 0.3617 0.0511 0.9358 0.3175 0.7858 0.6605 0.6238

Ejercicio 5