Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María EconometríaEconometría Modelos Pronósticos Prof. Dr. Héctor Allende

Héctor Allende O. 2 Modelos de Box-Jenkins. RECORDEMOS X proceso estocástico ssi la función es tal que sucesión de variables aleatorias Dado X (p.e.), se definen: X, se dice p.e. e. estricto ssi Un X un p.e. e. débil ssi Se llaman autocovarianza de X y autocorrelación de X a:

Héctor Allende O. 3 Propiedades: Procesos de medias móviles (MA). Sea X un p.e. Se dirá MA(q) si existe un ruido blanco y reales tal que Propiedades: 1) Todo es un MA(q) es p.e.e.

Héctor Allende O Procesos Autoregresivos (AR). Sea X un p.e., se dirá autoregresivo general de orden p si existe un ruido blanco y reales tal que Propiedades: AR(p) Un no es en general estacionario. Un AR(P) es estacionario ssi las raíces de están fuera del círculo unitario. Todo X p.e. AR(p): Autoregresivos de media móvil (ARMA(p;q)). X se dirá un ARMA(p,q) general si existe un ruido blanco reales

Héctor Allende O. 5 Anotando Se tiene que: Propiedades: ARMA(p,q) 1. X  ARMA(p,q) es estacionario ssi no tiene raíces dentro del círculo unitario. 2. X  ARMA(p,q) es invertible ssi no tiene raíces dentro del círculo unitario. 3. X  ARMA(p,q) es donde función de autocovarianza cruzada. 4. X  ARMA(p,q) 

Héctor Allende O. 6 X se dirá un ARIMA(p,d,q) ssi es un p.e.e. ARMA(p,q) con Tres formas de visualizar un ARIMA. Ejemplo: ARIMA(1,1,1) 4.4 Proceso ARIMA.

Héctor Allende O. Diremos que X es un ARIMA estacional de orden P,D,Q y período “ s” si con raíces fuera del disco unitario grados P y Q: X  ARIMA(P,D,Q) s Es decir Obs: Diremos que X es un proceso ARIMA estacional multiplicativo de ordenes P,D,Q, p,d,q y período “ S” si existen polinomios de grados P, Q, p y q respectivamente, con sus raíces fuera del círculo unitario y un ruído blanco A: Notación: X  ARIMA(p,d,q)  (P,D,Q) s ARIMA estacional.

Héctor Allende O. 8 Método de Box-Jenkins. Se postula una clase de modelos ARIMA Identificación del modelo tentativo: p, d, q, P, D, Q Estimación de Parámetros del modelo tentativo Verificación de diagnóstico ¿Es adecuado el modelo? Uso del modelo con fines de: Control, Predicción.

Héctor Allende O Identificación de modelos ARIMA. Sea X p.e.e.

Héctor Allende O Estimación de parámetros. Se pueden utilizar los siguientes métodos de estimación:  Mínimos cuadrados condicionados [Box and Jenkins].  Máxima verosimilitud [ Denby and Martin].  GM-estimadores [ Allende and Heiler].  Etc. 4.7 Verificación y diagnóstico. Dado Todos se basan en el análisis de los residuos. Se postula :

Héctor Allende O. 11 Test de bondad de ajuste. Test de Ljung-Box (1978). Función de autocovarianza residual Test robusto de Portmanteau (Allende; Galbiati, 1996).

Héctor Allende O Predicciones en modelos ARMA. Sean los mejores predictores lineales de dado Por la linealidad de los predictores tenemos que el mejor predictor de Además,

Héctor Allende O Predicciones en modelos ARIMA. Consideremos la predicción de un modelo ARIMA(p,d,q) El mejor predictor lineal de a partir de o bien

Héctor Allende O. 14 Luego, el mejor predictor lineal de es Nota: Los errores de predicción no están correlacionados hacia adelante

Héctor Allende O Algorítmo de Predicción en ARIMA(p,d,q). Usando A partir de n tenemos Usando podemos estima:

Héctor Allende O. 16 Actualización de las predicciones  Luego, un intervalo de confianza para

Héctor Allende O. 17 Ejemplo: Dada la serie