RESPUESTA EN FRECUENCIA u(t) = cos wt U(s) Y(s) F(s) En r.p.: y(t) = Acos (wt + ) j j F(jw) A.e = F (jw) = |F(jw)|.e La respuesta en frecuencia se utiliza en: - Diseño de sistemas de control. - Análisis de estabilidad (Criterio de Nyquist). Permite definir nuevos parámetros: M , w , w El estudio de F(jw) se realiza gráficamente: - Se emplean Diagramas de Bode, Nyquist (polar), Black - Veremos aplicación de reglas para boceto rápido. - Normalmente: Dibujo por ordenador: Matlab r r c

DIAGRAMAS BODE NYQUIST BLACK (NICHOLS)   A (dB) 20 Im(F(jw)) 10 2 w(r/s) 1 0.01 0.1 1 10 100 w=0 Re(F(jw)) -10 A (dB) w=O O -3 -2 -1 1 2 3 20 -1 -20 10 -2   w=0 180º -180º -90º 0º 90º 180º -10 90º 0º w(r/s) -20 0.01 0.1 1 10 100 -90º w=O O -180º

DIAGRAMA DE BODE Abscisas: - w o f = w/(2.) - escala logarítmica : década <> factor 10 octava <> factor 2 entre w = 1 y w = 10.......... 1 década entre w = 1 y w = 100........ 2 décadas entre w = 2 y w = 20.......... 1 década entre w = 0.1 y w = 1......... 1 década entre w = 0.03 y w = 30..... 3 décadas Nº de décadas entre w y w : log (w /w ) (w > w ) 1 2 10 2 1 2 1

DIAGRAMA DE BODE Abscisas entre w = 1 y w = 2.......... 1 octava entre w = 1 y w = 4.......... 2 octavas entre w = 3 y w = 6.......... 1 octava entre w = 0.1 y w = 0.8.... 3 octavas entre w = 0.2 y w = 3.2....... 4 octavas Nº de octavas entre w y w : log (w /w ) = 3,32 log (w /w ) 1 2 2 2 1 10 2 1

Ordenadas: - Módulo A: escala lineal en dB DIAGRAMA DE BODE Ordenadas: - Módulo A: escala lineal en dB - Fase :escala lineal en grados o radianes A = 20.log A A A dB 10 dB 1 0 dB 10 20 dB 100 40 dB 0.1 -20 dB 0.01 -40 dB 2 3 dB 2 6 dB 1/ 2 -3 dB 0.5 -6 dB

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 2 F(s)= 1/(1+s) F(jw)= 1/(1+jw) A= 1/ (1+(w) ) 2 2 A = 20.log (1/ (1+(w) )) = -10.log (1+(w) ) dB = - arctg(w) Pulsación de corte: w = 1/ c Im(F(jw)) A (dB) 20 0.01/  0.1/  1/  10/  100/  Re(F(jw)) 1 0 dB w(r/s) -3 dB w=O O -45º w=0 1/2 -20 -20 dB/dec 1/ 2 A (dB) -40 -1/2 w=1/   F(jw) 0.01/  0.1/  1/  10/  100/   -90º -45º w=0 F(jw) 0º w(r/s) 0º -3 dB -6º -45º -84º -10 w=1/  -90º w=O O -20

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 2 F(s)= 1+s F(jw)= 1+jw A= (1+(w) ) 2 2 A = 20.log ( (1+(w) )) = 10.log (1+(w) ) dB w=O O Im(F(jw)) = arctg(w) w=1/  1 A (dB) 1 40 w=0 Re(F(jw)) 20 dB/dec 20 3 dB w(r/s) 0 dB 0.01/  0.1/  1/  10/  100/  w=O O A (dB) 10 -20  20  w=1/  w=0 3 dB 90º 84º 0º 45º 90º 6º 45º w(r/s) 0º 0.01/  0.1/  1/  10/  100/ 

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN F(s)= s F(jw)= jw A= w A = 20.log w = 90º dB w=O O Im(F(jw)) w=1/  1 A (dB) 40 20 dB/dec 20 w=0 Re(F(jw)) w(r/s) 0 dB 0.01/  0.1/  1/  10/  100/  -20 w=O O A (dB) 10  20  w=1/  90º 0º 45º 90º 45º -20 w(r/s) 0º 0.01/  0.1/  1/  10/  100/  w=0

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN F(s)= 1/s F(jw)= 1/jw A= 1/w A = 20.log 1/w = -20.log w = -90º dB Im(F(jw)) A (dB) 40 20 w=O O Re(F(jw)) w(r/s) w=1/  0 dB -1 0.01/  0.1/  1/  10/  100/  -20 -20 dB/dec A (dB) w=0 w=0 10  20 w(r/s) w=1/  0º  0.01/  0.1/  1/  10/  100/  -90º 0º -45º -45º -20 -90º w=O O

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 2 F(s)= s/(1+s) F(jw)= jw/(1+jw) A= w/ (1+(w) ) 2 2 A = 20.log (w/ (1+(w) )) = 20.log w - 10.log (1+(w) ) dB = 90º - arctg(w) Im(F(jw)) 1/2 A (dB) w=1/  w=O O 20 0.01/  0.1/  1/  10/  100/  w=0 1/2 1 Re(F(jw)) 0 dB w(r/s) 20 dB/dec -20 -3 dB -40 A (dB)   90º 45º w=O O 84º 6º 0º 90º 45º -3 dB -10 w(r/s) 0º 0.01/  0.1/  1/  10/  100/  -20 w=0

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 2 F(s)= (1+s)/s F(jw)= (1+jw)/jw A = (1+(w) )/w 2 2 A = 20.log ( (1+(w) )/w) = 10.log (1+(w) ) - 20.log w dB Im(F(jw)) = arctg(w) - 90º 1 A (dB) 1 40 -20 dB/dec w=O O Re(F(jw)) 20 w=1/  3 dB w(r/s) -1 0 dB 0.01/  0.1/  1/  10/  100/  w=0 -20  A (dB) w=0 0.01/  0.1/  1/  10/  100/  10 0º w(r/s) 20 6º 3 dB -84º -45º w=O O  -90º -45º 0º -90º

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 2 2   n n F(s) = F(jw)= 2 2 2 2 s + 2s +  (jw) + 2jw +  n n n n 2  2 2 n = - arctg((2w)/ (- w )) A= n n 2 2 2 2 (- w ) + (2w) n n A (dB) 20 M  =0.2 r 0.1 n  n 10 n 0.1 n 10  n n 0 dB 0º w(r/s) w(r/s) =1 -20 -90º -40 dB/dec =1 =2 -40 =2 =0.2 -180º

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Si <=1/ 2 , |F(jw)| tiene un máximo: 1 2 |F(jw)| máximo: M =  =  1- 2 r 2 r n 2 1-  Se define la pulsación de corte  para |F(jw)|= 1/ 2 (-3 dB) c 2 2 4 Pulsación de corte:  =  1- 2 + 2 - 4+ 4 c n

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN BLACK (NICHOLS) NYQUIST Im(F(jw)) A (dB) w= n  Re(F(jw)) 1 -180º -90º -45º w=0 w=0 w=O O 1/2 =0.5 0º -10 w= n =1 -1/2 =2 w= =1 n -20 w= =2 n =0.5 -1 w= n w=O O

CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE 1º Normalizar F(s) con términos de la forma: K, s, 1 + s, /( ) 2º Situar ejes: A en 20.logK en 0º (K positivo) o 180º(K negativo) + p.(90º) siendo p el exponente de s 3º Dibujar los términos s, 1 + s, /( ) 4º Sumar comenzando por izda. 2 2 2 s + 2s +  n n n 2 2 2 s + 2s +  n n n

CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE 6 s + 1/3 Ejemplo: F(s) = 5 s.(s + 1/5)

CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE 6 s + 1/3 1 + 3s 2 . Ejemplo: F(s) = = 5 s.(s + 1/5) s.(1 + 5s)

CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE 6 s + 1/3 1 + 3s 2 . Ejemplo: F(s) = = 5 s.(s + 1/5) s.(1 + 5s) w=1/5 w=1 20.log2=6dB w=0.1 w=1/3 w=1/5 w=1 -90º w=0.1 w=1/3

CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE 6 s + 1/3 1 + 3s 2 . Ejemplo: F(s) = = 5 s.(s + 1/5) s.(1 + 5s) 20 dB/dec w=1/5 w=1 20.log2=6dB w=0.1 w=1/3 -20 dB/dec -20 dB/dec +45º/dec +45º w=1/5 w=1 -90º w=0.1 -45º w=1/3 -45º/dec

CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE BODE 6 s + 1/3 1 + 3s 2 . Ejemplo: F(s) = = 5 s.(s + 1/5) s.(1 + 5s) -20 dB/dec 20 dB 20 dB/dec -40 dB/dec 40.log((1/3)/(1/5)) = 8,88 dB 20.log(1/(1/5))=14 dB 12,12 w=1/5 w=1 20.log2=6dB w=0.1 w=1/3 -20 dB/dec -20 dB/dec -20 dB/dec +45º/dec 45.log((1/3)/(1/5)) = 10º +45º w=1/5 w=1 -90º w=0.1 -45º w=1/3 -100º -45º/dec

CONSTRUCCION DE DIAGRAMAS DE NYQUIST Y BLACK 1º Observar comportamiento en w = 0 2º Observar comportamiento en w= 0 3º Observar ptos importantes en F o D. Bode Im(F(jw)) A (dB) w=0 10 20  w=O O Re(F(jw)) -90º 0º -45º -20 -100º -100º -10 w=O O w=0