EL FILTRO DE KALMAN: APLICACION AL ESTUDIO DEL CICLO ECONOMICO DOCTORADO EN MODELIZACION ECONOMICA APLICADA. INSTITUTO L. R. KLEIN. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID Julián Moral Carcedo Area Macroeconomía

INDICE 1.- Representación de sistemas dinámicos lineales en el espacio de los estados. 2.- El filtro de Kalman. 3.-Aplicación práctica. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA. J.D. Hamilton. (Capítulo 13). Time series analysis. Princeton University Press. 1991 J.D. Hamilton. State space Models. Handbook of Econometrics. Volumen IV. 1994. A.C. Harvey. Forecasting structural time series model and the Kalman filter. Cambridge University Press. 1989. Chang-Jin Kim y Charles R. Nelson. State-Space Models with regime switching. MIT Press (1999).

RE`PRESENTACION EN EL ESPACIO DE LOS ESTADOS : “STATE-SPACE REPRESENTATION” Ecuación de medida /observación PARTE ESTATICA (nx1) (nxk)(kx1) (nxr)(rx1) (nx1) PARTE DINAMICA (rx1) (rxr)(rx1) (rx1) Ecuación de estado

MODELO DINAMICO ESPACIO ESTADOS ...... ...... INOBSERVADO GENERALMENTE

EJEMPLOS AR(1) AR(p) MODELO DINAMICO ESPACIO ESTADOS MODELO DINAMICO (1x1) (1x1) (1x1) (1x1)(1x1) (1x1) (1x1) (1x1)(1x1) (1x1) AR(p) MODELO DINAMICO (1x1) (1x1)(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)

ESPACIO ESTADOS AR(p) (1x1) (1xp) (px1) (px1) (pxp) (px1) (px1)

EJEMPLOS ARMA(p,q) MODELO DINAMICO ESPACIO ESTADOS

EL FILTRO DE KALMAN El filtro de Kalman consiste en un algoritmo que proporciona estimaciones de la ecuación de estado a partir de la información disponible hasta el momento t (“condicionada” a la información disponible en t) y de la ecuación de medida, para posteriormente, corregir las estimaciones conforme se amplia la información disponible. El algoritmo precisa de dar un valor inicial t=1 al vector , (y a su error cuadrático medio) el cual no se basa en información muestral, sino que puede considerarse un prior que se impone.

DIAGRAMA DE FLUJO DEL FILTRO DE KALMAN

¿Existe un ciclo común entre las principales economías europeas? APLICACIÓN PRACTICA OBJETIVO: ¿Existe un ciclo común entre las principales economías europeas?

COEFICIENTES DE CORRELACION

El ciclo observado en un país responde a dos componentes inobservables: un ciclo específico propio o residual y un ciclo común que comparten todos los países Ciclo observado, crecimiento interanual del PIB del país j en el momento t Ciclo específico del país j en el momento t, es un componente residual (lo que resulta de restar al ciclo el componente común) Ciclo común a todos los países en el momento t

SIMILITUDES Y DIFERENCIAS CON EL ANALISIS FACTORIAL AF: Estático FK: Dinámico F1 Y1 Y2 Y3 FE1 FE2 FE3 t-1 t F1 Y1 Y2 Y3 FE1 FE2 FE3

FORMULACION ESPACIO ESTADOS ECUACION DE MEDIDA ECUACION DE ESTADO Ausencia de relación entre el ciclo común y los ciclos específicos y entre éstos últimos. La ecuación de estado es una identidad

ESPECIFICACION EVIEWS 4.0 D(LOG(ALEMANIA))=SV1+SV2 D(LOG(ESPA))=SV2+SV3 D(LOG(ITALIA))=SV2+SV4 D(LOG(FRANCIA))=SV2+SV5 @STATE SV1=C(5)*SV1(-1) + [var=exp(C(14))] @STATE SV2=C(6)*SV2(-1) + [var=exp(C(15))] @STATE SV3=C(7)*SV3(-1) + [var=exp(C(16))] @STATE SV4=C(8)*SV4(-1) + [var=exp(C(17))] @STATE SV5=C(9)*SV5(-1) + [var=exp(C(18))] ESPECIFICACION EVIEWS 3.1 D(LOG(ALEMANIA))=SV1+SV2 D(LOG(ESPA))=SV2+SV3 D(LOG(ITALIA))=SV2+SV4 D(LOG(FRANCIA))=SV2+SV5 @STATE SV1=C(5)*SV1(-1) @STATE SV2=C(6)*SV2(-1) @STATE SV3=C(7)*SV3(-1) @STATE SV4=C(8)*SV4(-1) @STATE SV5=C(9)*SV5(-1)

1º CREAR OBJETO SSPACE

2º ESPECIFICACION ESPACIO ESTADOS

3º ESTIMACION : ELEGIR LAS OPCIONES: matriz de varianzas de la ecuación de medida y de la ecuación de estado 4º ALGORITMO DE ESTIMACION Y OPCIONES DE ITERACIÓN

5º ESPERAR Y “REZAR” PARA QUE EL ALGORITMO DE ESTIMACION CONVERGA A UNA MÁXIMO DE LA FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD (LOCAL O GLOBAL)

6º EL PROGRAMA HA CREADO NUEVAS SERIES QUE CONTIENEN LAS VARIABLES DE ESTADO, TAMBIEN PODEMOS SOLICITAR LAS VERSIONES ALISADAS Y SU MSE

COEFICIENTES DE CORRELACION RESULTADOS COEFICIENTES DE CORRELACION

La serie CE Francia parece presentar anomalías, en el sentido de que carece de ciclo específico, resultado coherente con la alta correlación que presenta la serie Francia con el ciclo común.

“... Cuando se registran fases expansivas la economía española registra crecimientos superiores a los de sus socios europeos, de manera contraria, las recesiones resultan más profundas en España ...”