Una Estructura en Cascada para Prediccion Lineal Adaptiva Presentado por: Guillermo Dalla Vecchia ) Martes 14 de Setiembre, 2003.

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1 Una Estructura en Cascada para Prediccion Lineal Adaptiva Presentado por: Guillermo Dalla Vecchia (gdv@adinet.com.uy ) Martes 14 de Setiembre, 2003

2 Temario Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL). Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizaci ó n y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz Conclusiones Referencias

3 Filtros Lattice

4 Filtro Lattice FIR Objetivo: Minimizar el error de prediccion Ecuaciones Basicas:

5 Filtros Lattice Diagrama de Flujo de Se ñ al

6 Filtros Lattice Principales Ventajas Modularidad. Baja sensibilidad a los efectos de cuantizacion de los parametros. Criterio simple para asegurar que el filtro sea de fase minima. En el caso del filtro IIR esta condicion asegura estabilidad.

7 Temario Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL). Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizaci ó n y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz Conclusiones Referencias

8 Filtros Lattice LMS (GAL) Problema: Minimizar la siguiente funcion de costo: Solucion:

9 Filtros Lattice LMS (GAL) Problema: Dificultad para evaluar la expresion anterior. Solucion: Estrategia iterativa (Metodo de Maxima Pendiente): Ecuacion de Actualizacion:

10 Filtros Lattice LMS (GAL)  Problema: Necesidad de conocer las propiedades estadisticas de los errores de prediccion.  Solucion: Reemplazar el operador valor esperado con valores instantaneos (enfoque LMS):

11 Filtros Lattice LMS (GAL) Condicion sobre el paso de adaptacion para asegurar estabilidad:

12 Estructura en Cascada para Prediccion Lineal Adaptiva

13 Temario Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL). Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizaci ó n y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz Conclusiones Referencias

14 Introduccion Algoritmos adaptivos tradicionales: Familia RLS, y Familia LMS. Populares y ampliamente usados. Sufren de diversos problemas y limitaciones.

15 Problemas y Limitaciones RLS: Mayor complejidad. Mayor costo computacional. Calculo implicito de la inversa de la matriz de correlacion de la se ñ al de entrada. LMS: Fuertemente afectado por la dispersion de los autovalores de la matriz de correlacion de la se ñ al de entrada. Acoplamiento de modos de convergencia. Introduccion

16 Consecuencias RLS Problemas de estabilidad del algoritmo. LMS Trayectorias de convergencia no uniformes. Problemas de estabilidad del algoritmo.

17 Introduccion Alternativas para minimizar estos Problemas (para el caso de prediccion lineal) : LMS Filtros Lattice. Algoritmos LMS en el dominio de la Frecuencia. Desventajas: Producen Mayor Desajuste. RLS Algoritmos RLS Rapidos (FRLS). Desventajas: Sensibilidad a la precision numerica, fundamentalmente en el seguimiento de se ñ ales no estacionarias, o se ñ ales ruidosas.

18 Introduccion Otra alternativa: Estructura en cascada. Idea: usar una cascada de filtros de bajo orden, en vez de uno de orden alto. Desventaja: No converge a la solucion optima de Wiener.

19 Introduccion MSE final: Expresiones de los coeficientes para el caso de una cascada de dos etapas de un coeficiente:

20 Introduccion Ejemplo sencillo: Proceso AR(2) Polos de la forma

21 Introduccion Simulaciones para el caso ρ=0.95 y θ=π/20:

22 Introduccion

23 Temario Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL). Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y Complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz Conclusiones Referencias

24 Algoritmos de Actualizacion y Complejidad Computacional Algoritmos de actualizacion a usar en las simulaciones: LMS, LMS Lattice, RLS y LMS en cascada de dos coeficientes con paso de adaptacion constante para todas las etapas.

25 Algoritmos de Actualizacion y Complejidad Computacional Complejidad computacional: LMS: 2N+1 multiplicaciones. LMS Cascada: 5N/2 multiplicaciones. LMS Lattice: 5N multiplicaciones. Conclusion : el costo computacional de la cascada es ligeramente mayor a la del LMS, y menor que la del LMS Lattice.

26 Temario Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL). Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz Conclusiones Referencias

27 Simulaciones

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30 Temario Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL). Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz Conclusiones Referencias

31 Prediccion Lineal de Voz

32 Ventajas de la cascada frente a otras estructuras: Para predictores basados en LMS: La cascada es ligeramente mas costosa computacionalmente que el LMS standard. Menos susceptible a los problemas del algoritmo standard, con una performance similar. Para predictores RLS: Performance similar al RLS standard. Mejora problemas numericos del RLS para ordenes grandes del predictor (calculo de la inversa de R).

33 Temario Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL). Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz Conclusiones Referencias

34 Conclusiones Converge rapidamente a una buena aproximacion, superando a estructuras computacionales mas costosas. Soluciona algunos de los problemas de los algoritmos tradicionales. Presenta problemas ante determinadas clases de se ñ ales (ejemplo: se ñ ales cuya autocorrelacion se anula para indices impares por lo que las etapas impares convergen a cero).

35 Temario Filtros Lattice Filtros Lattice FIR. Filtros Lattice LMS (GAL). Estructura en Cascada de Filtros para Prediccion Lineal Adaptiva Introduccion Estructura en Cascada Aplicada a Problemas de Prediccion Lineal. Algoritmos de Actualizacion y complejidad Computacional. Simulaciones Prediccion Lineal de Voz Conclusiones Referencias

36 [1] M. Hayes, “ Statistical Digital Signal Processing and Modeling ”, John Wiley & Sons Inc., 1996. [2] S. Haykin, “ Adaptive Filter Theory ”, Prentice Hall, 1995. [3] P. Prandoni y M. Vetterli, “ An FIR Cascade Structure for Adaptive Linear Prediction ”, 1996.

37 Muchas Gracias