Sistema de coordenadas o Plano Cartesiano Yahaira hernandez y …… Matemática

Definición de Sistema de Coordenadas Es un sistema de ejes coordenados, en que a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, al número del eje x se conoce como abscisa, al eje Y ordenada.

Definición de abscisa Abscisa: los números tomados sobre el eje X que miden la distancia en magnitud y el signo desde el origen. El eje X se llama, eje de las abscisas.

Definición de ordenada Ordenadas: los números tomados sobre el eje Y miden la distancia en magnitud y signo desde el origen. El eje Y recibe el nombre de ordenada.

Coordenadas (x,y) Sabemos como se construye una recta numérica. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje de y y su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes.

Definición de Par Ordenado Par de números de la forma ( x, y ) utilizados para localizar puntos en un plano, se expresan en forma de pares ordenados. El orden en que se escribe es muy importante.

Signos de los puntos ( pares ordenados) en los cuadrantes X Y Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV ( + , + ) ( - , + ) ( - , - ) ( + , - ) Origen ( x, y )

Ejemplo de Par Ordenado En el par ordenado ( 3 , 5) el 3 corresponde al número localizado en el eje de ( x ) y el 5 corresponde al número localizado en el eje de ( y ).

Ejercicios resueltos: Y ( 3 , 5 ) Par Ordenado ( 3 , 5) 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 Origen

Localiza los siguientes pares ordenados en el plano: Y B ( -3 , 4 ) A ( 2 , 3) 4 A ( 2 , 3 ) 3 B (-3 , 4) 2 C (-3 , -2) D 1 ( 3 , 0 ) D ( 3 , 0) X - 4 - 3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 ( -3 , -2 ) C -3 -4

Resuelve las ecuaciones y dibuja las gráficas ( x, y ) Ejemplo # 1 y = - 3x + 5 ( 0 , 5 ) Si x = 0 y = -3 (0) + 5 = 0 + 5 = 5 ( 1 , 2 ) Si x = 1 y = -3 (1) + 5 = -3 + 5 = 2 Si x = 5 y = -3 (5) + 5 = -15 + 5 = -10 ( 5, -10 ) Si x = -1 ( -1, 8 ) y = -3 (-1) + 5 = 3 + 5 = 8

Gráficamente estos fueron los pares ordenados que se formaron. Continuación I Y X Y 5 1 2 -10 -1 8 10 (-1, 8) 8 6 (0, 5) 4 (1, 2) 2 X -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -2 -4 Gráficamente estos fueron los pares ordenados que se formaron. -6 -8 (5, 10) -10

Continuación II y = 4x + 2 Ejercicio # 2 Si x = 0 ( x, y ) Si x = 0 y = 4 (0) + 2 = 0 + 2 = 2 ( 0 , 2 ) Si x = 1 y = 4 (1) + 2 = 4 + 2 = 6 ( 1 , 6 ) Si x = -1 y = 4 (-1) + 2 = -4 + 2 = - 2 ( -1,-2 ) X Y 2 1 6 -1 -2 Variable dependiente Variable independiente

Los pares ordenados formados son estos. Continuación III Y X Y 2 1 6 -1 -2 6 (1,6) 5 4 3 (0,2) 2 1 X -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 Los pares ordenados formados son estos. (-1,-2) -2 -3 -4 -5 -6

Ejercicios resueltos con dos variables * Despejar para y * X Y 2 2x + 5y = 10 Si x = 0 2( 0 ) + 5y = 10 0 + 5y = 10 y = 2 5y / 5 = 10/ 5 Continuación…

* Despejar para y * 2x + 5y = 10 Si x = 5 2( 5 ) + 5y = 10 2 5 2x + 5y = 10 Si x = 5 2( 5 ) + 5y = 10 10 + 5y = 10 5y = 10 - 10 5y = 0 Continuación…

Continuación, ejercicio anterior * Despejar para y * X Y 2 5 -5 4 2x + 5y = 10 Si x = -5 2( -5 ) + 5y = 10 -10 + 5y = 10 5y = 10 + 10 5y = 20 y = 4 5y/5 = 20/5 Continuación…

Estos son los pares ordenados que se formaron. Continuación B Y X Y 2 5 -5 4 (-5,4) 5 4 3 (0,2) 2 1 X -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 (5,0) -1 -2 Estos son los pares ordenados que se formaron. -3 -4 -5

Un poco de historia no hace mal Las Coordenadas son grupos de números que describen una posición: a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos. Continuación

Continuación historia El sistema de coordenadas cartesianas fue conocido con el nombre de René Descartes ("De-kart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números. El sistema de coordenadas cartesianas fue conocido con el nombre de René Descartes ("De-kart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números. Continuación

Continuación de historia El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"), perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se juntan ("origen"). (vea el dibujo en la próxima pagina). Continuación

Dibujo cartesiano Fig. 1 Continuación

Continuación histórica La distancia en un eje se llama "x" y en el otro "y". Dado un punto P se dibujan, desde él, líneas paralelas a los ejes y los valores de "x" e "y" definen totalmente el punto. En honor a Descartes, (figura 2) se conoce como sistema cartesiano.

Figura 2 René Descartes

Practicar para no olvidar Fig. 4

Ejercicio 1 ¿Cuales signos corresponden al primer cuadrante en el plano cartesiano? Recuerda que se gira contrario a la manecilla del reloj: A: ( + , - ) B: ( + , + )

Ejercicio 2 ¿Cuales signos corresponden al tercer cuadrante en el plano cartesiano?: A: ( - , - ) B: ( + , + )

Ejercicio 3 Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano: P = (3, 5). Seleccione su respuesta P B: A: 5 4 3 2 1 1 2 3 -4 -3 –2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 -3 -2 -4 -3 -5 -4 P -5

Ejercicio 4 Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano: Q = (-4, 2). Seleccione la respuesta correcta. A: B: 3 5 2 4 3 1 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5

Ejercicio 5 Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano: R = (-1, -3). . Seleccione la respuesta correcta. A: B: 3 R 3 2 2 1 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -2 R -3 -3 -4 -4 -5

Ejercicio 6 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1. Selecciona la alternativa correcta: B: A: ( 3 , 5 ) ( 1 , 7 )

Ejercicio 7 Resuelve la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2. Selecciona la alternativa correcta: B ( 2 , 13 ) A ( 3 , 10 )

Ejercicio 8 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 4 A: ( 5 , 10 ) B: ( 4 , 13 ) C: ( 13 , 4 )

Ejercicio 9 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 5 A: ( 2 , 5 ) B: ( 5 , 15) C: ( 4 , 10 )

Ejercicio 10 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 0 A: ( 0 , 5 ) B: ( 5 , 2 ) C: ( 1 , 4)

Selección incorrecta Recuerda que en el primer cuadrante la coordenada de x y la de y son positivas. Ejemplo 3 a la derecha y 5 hacia arriba. Intente otra alternativa

Felicidades Usted ha seleccionado correctamente: ( + , + ) Cuadrante I X Y Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV ( + , + ) Origen Siguiente ejercicio

Selección incorrecta Recuerda que en el tercer cuadrante la coordenada de x y la de y son negativas. Ejemplo -4 a la izquierda y -5 hacia abajo. Intente otra alternativa

Usted ha seleccionado correctamente: Felicidades Usted ha seleccionado correctamente: Y Cuadrante II Cuadrante I X Origen Cuadrante III Cuadrante IV ( - , - ) Siguiente ejercicio

Usted ha seleccionado correctamente: Felicidades Usted ha seleccionado correctamente: Recuerda que al recorrer 3 a la derecha (coordenada x) y 5 hacia arriba (ordenada y) los dos números son positivos, por tanto el par ordenado estará en el primer cuadrante. Resp. B, Ejercicio 3 P 5 4 3 2 1 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 Siguiente ejercicio

Error intente otra alternativa Respuesta A, ejercicio 3 Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 3 espacios a la izquierda y luego 5 hacia abajo, el par ordenado será (-3,-5) por tanto negativos. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (3,5). -4 -3 –2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

Selección de respuesta correcta. Felicidades Selección de respuesta correcta. Es correcta porque si recorre -4 a la izquierda y luego 2 hacia arriba se formará el par ordenado (-4,2) que es el que pertenece al punto Q que nos señala el ejercicio propuesto. 3 Q 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 Siguiente ejercicio

Error intente otra alternativa Su selección es incorrecta. Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 2 espacios a la derecha y luego 4 hacia abajo, el par ordenado será (2,-4) por tanto, el primer número es positivo y pertenece a la coordenada x, el segundo es negativo y pertenece a la ordenada y. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (-4,2). 5 4 3 2 1 -1 1 2 3 4 -2 -3 -4

Selección de respuesta correcta. Felicidades Selección de respuesta correcta. Es correcta porque si recorre -1 a la izquierda y luego -3 hacia abajo se formará el par ordenado (-1,-3) que es el que pertenece al punto R que nos presenta el ejercicio propuesto. 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 Siguiente ejercicio

Error intente otra alternativa Selección incorrecta. Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 1 espacio a la derecha y luego 3 hacia arriba, el par ordenado que se forma es (1,3) por tanto, los números son positivos y pertenecen al primer cuadrante, donde todos los pares ordenados son positivos. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (-1,-3). 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5

Selección correcta: Felicidades Solución de la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1 y = 2x + 5 y = 2(1) +5 y = 2 + 5 y = 7 El par ordenado que se forma es: (1 , 7) Siguiente ejercicio

Error, su elección es incorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a uno (x = 1) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, su elección es incorrecta Al resolver la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a dos (x = 2) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta: Felicidades Solución de la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2 y = 3x + 7 y = 3(2) +7 y = 6 + 7 y = 13 El par ordenado que se forma es: (2 , 13) Siguiente ejercicio

Solución correcta: y = 2x + 5 y = 2(4) +5 y = 8 + 5 y = 13 Solución de y = 2x + 5 cuando x = 4 y = 2x + 5 y = 2(4) +5 y = 8 + 5 y = 13 Par ordenado ( 4 , 13 ) Siguiente ejercicio

Error, selecciones otra respuesta Al resolver la ecuación 2x + 5 cuando x = 4, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cuatro (x = 4) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, solucion icorrecta Al resolver la ecuación 2x + 5 cuando x = 4, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cuatro (x = 4) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta: y = 2x + 5 Par ordenado y = 2(5) +5 ( 5 , 15 ) Solución de y = 2x + 5 cuando x = 5 y = 2x + 5 y = 2(5) +5 y = 10 + 5 y = 15 Par ordenado ( 5 , 15 ) Siguiente ejercicio

Error, solucion icorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 5, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cinco (x = 5) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, solucion icorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 5, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cinco (x = 5) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta: y = 2x + 5 Par ordenado y = 2(0) +5 ( 0 , 5 ) Solución de y = 2x + 5 cuando x = 0 y = 2x + 5 y = 2(0) +5 y = 0 + 5 y = 5 Par ordenado ( 0 , 5 ) Siguiente ejercicio

Error, selección icorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 0, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cero (x = 0) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, selección icorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 0, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cero (x = 0) pues el ejercicio nos lo indica.