TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
CONDICIÓN DE LÉVY-LINDEBERG Para una sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas a un modelo común con esperanza y varianza finita, se verifica que la sucesión de promedios de n de sus elementos converge en distribución a una normal con media la del modelo y varianza la del modelo dividida por n. Comprobaremos este resultado considerando dos modelos diferentes:
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE. Código fuente en R para comparar, bajo la suposición de diferentes modelos para X, la densidad exacta de la media muestral de X con su aproximación por el Teorema Central del Límite. CASO EXPONENCIAL(2) n=20 y<-seq(-1,3,length=100) #X=Gamma(a,p), entonces cX=Gamma(a/c,p) plot(y,dexp(y,rate=0.5),ylim=c(0,4.5),lwd=2,col=3,main="X Exponencial (2)",sub="n=20",type="l") lines(y,dgamma(y,n,2*n),col=2,lwd=2,type="l") #aquí al revés los parámetros de la gamma lines(y,dnorm(y,0.5,(1/(2*sqrt(n))))) legend("top",legend=c("Densidad de X","Densidad exacta de la media muestral de X","Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL"), lwd=c(2,2,1),col=c(3,2,1)) CASO CHICUADRADO (K) n=20 k=2 y<-seq(-1,4,length=100) #X=Gamma(a,p), entonces cX=Gamma(a/c,p) plot(y,dchisq(y,k),ylim=c(0,1.1),lwd=2,col=3,main="X Chicuadrado (2)",sub="n=20",type="l") lines(y,dgamma(y,((n*k)/2),n/2),ylim=c(0,2),main="Población Chicuadrado (2)",sub="N=10",col=2,lwd=2,type="l") #aquí al revés los parámetros de la gamma lines(y,dnorm(y,k,(sqrt(2*k)/sqrt(n)))) legend("top",legend=c("Densidad de X","Densidad exacta de la media muestral de X","Densidad de la media muestal de X aproximada por TCL"), lwd=c(2,2,1),col=c(3,2,1))