Técnicas de conteo Principio fundamental del conteo. Si un evento puede realizarse de n 1 maneras diferentes y si después de efectuarlas, un segundo evento puede realizarse de n 2 maneras diferentes y si después de efectuarlas un tercer evento puede realizarse de n 3 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en orden indicado es el producto n 1 n 2 n 3

Notación factorial: El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y lo denotamos por el símbolo n! (que se lee n factorial) n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … (n-2)(n-1)n Se define 0! = 1 1!= 1 Ejemplos: 2! = 1 ∙ 2 = 2 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720 7! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙7 = ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙7 ∙ 8 = ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙7 ∙ 8 ∙ 9 = ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 =

Combinaciones y Permutaciones Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden sí importa es una permutación. En permutaciones hay 2 tipos: Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333". Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

Permutaciones Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama una permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Ejemplo: Consideremos el conjunto de letras { a, b, c, d } a) abcd, bacd, cbad, dcba son permutaciones de las 4 letras tomadas todas a la vez b) abc, bac, cab, cbd son permutaciones de las 4 letras tomadas 3 a la vez c) ab, ba, bc, bd son permutaciones de las 4 letras tomadas 2 a la vez

El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez se denota por: P(n,r) Antes de deducir la formula general, consideremos un caso especial. Ejemplo: Hallar el número de permutaciones de 6 objetos a, b, c, d, e, f tomados 3 a la vez En otras palabras, hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden formarse con 6 letras.

Representamos las palabras de 3 letras por tres cajas La primera letra puede escogerse de 6 formas diferentes, la segunda letra se puede escoger de 5 formas diferentes, la tercera letra se puede escoger de 4 formas diferentes Por el principio fundamental del conteo hay 6∙5∙4 = 120 posibles palabras de tres letras sin repetición, o hay 120 permutaciones de 6 objetos tomados 3 a la vez al mismo tiempo, esto es:

En el caso de r = n tenemos P(n,n) = n(n-1)(n-2) … 3∙2∙1 = n!