Trigonometría Moderna ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Y SUS RAZONES TRIGONOMETRICAS AREA DE MATEMÁTICA

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas , su vértice se ubica en el origen de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en cualquier cuadrante del plano cartesiano. También son llamados ∢s en posición canónica o estándar. Lado final del ángulo en posición normal Y Medida del ángulo en posición normal Ángulo en el 2do Cuadrante x o Lado inicial del ángulo en posición normal Origen de Coordenadas

Ángulo ubicado en el 3er cuadrante Ángulo ubicado en el 4to cuadrante Y Ángulo ubicado en el 3er cuadrante Medida del ángulo en posición normal X Lado inicial Y Lado Final Lado inicial X Ángulo ubicado en el 4to cuadrante Lado Final

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Sea “ ” un ángulo trigonométrico en posición normal, P(x;y) un punto de su lado final y “r” (r > 0) el radio vector de dicho punto, entonces las Razones Trigonométricas de “ ” , se definen como sigue: Y r y X x

1. Del gráfico: Como: Entonces: Luego: Calcula todas las R.T. de x y y

r r 2) Calcula: en: Resolución.- -2 -1 r θ Resolución.- Lo primero será calcular el valor del radio vector r Entonces: Luego:

3. En el gráfico: Calcula: Resolución.- ( -4 ; -5) ( 4 ; 5) ( -4 ; -5) Resolución.- Trasladamos el punto (4;5) por simetría, haciendo rotaciones de 90°. Luego: = = =

Oj0 .. ESTçN ENTENDIENDO ? NO REPITE POR FAVOR

TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE LAS R.T. POR CUADRANTES θ SEGUNDO CUADRANTE PRIMER CUADRANTE ( x ; y ) + ; - El SENO y la CO-SECANTE son Positivas, las demás Negativas. Todas las Razones Trigonométricas son Positivas TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE La TANGENTE y la COTANGENTE son Positivas, las demás Negativas. El COSENO y La SECANTE son Positivas, las demás Negativas.

n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º; ÁNGULOS CUADRANTALES Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma ó “90ºn” ; n  Z Ejemplo: Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; …. n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida. (0; 1) R.T. 0º, 360º 90º 180º 270º 0; 2 /2  3/2 sen 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tg 0 N 0 N cot N 0 N 0 sec 1 N -1 N csc N 1 N -1 90º r=1 (1; 0) (-1; 0) 180º 360º x 270º (0; -1)

Veamos unos problemitas …

EJEMPLOS DE APLICACIÓN Del siguiente gráfico calcular: Con el par ordenado del dato calculamos “r”: x y  (1; -3) r2 = 12 + (-3)2  r = Reemplazamos las definiciones: E = -3 + 4  E = 1

Indicar el signo resultante de la siguiente operación: Ejemplo 2 : E = sen130º . cos230º . tg330º II C III C IV C E = sen130º . cos230º . tg330º E = + . - . - E = + Ejemplo 3 : Indicar el cuadrante al que pertenece la medida angular “” si: tg < 0  csc > 0 tg = - { IIC  IVC }   IIC csc = + { IC  IIC }

Ejemplo 4 : Calcular:

Ejemplo 5 : Del gráfico calcular:   Tenemos que: Entonces: Por lo tanto

Te recomiendo practicar un poco más , sé perseverante, nada en la vida es fácil.

FIN