Transformaciones isométricas 1er. semestre 2005
Transformaciones Isométricas? ¿Qué son las Transformaciones Isométricas? Son movimientos que pueden realizarse con un figura geométrica, a la cual se le mantiene su forma y tamaño. Existen tipos de transformaciones isométricas: SIMETRÍA TRASLACIONES GIROS O ROTACIONES TESELACIONES O EMBALDOSAMIENTOS
Principios de las isometrías Cumplen con 4 principios: PRINCIPIO DE IDENTIDAD: no altera el objeto. PRINCIPIO DE COMPOSICIÓN: del producto de dos isometrías surge una nueva isometría. PRINCIPIO DE ORDEN: el orden de las composiciones de isometría no alteran al objeto. PRINCIPIO DE INVERSA DE UNA ISOMETRÍA: si existe una isometría, también existe otra isometría que puede deshacer aquella.
TESELACIONES O EMBALDOSAMIENTOS Consiste en recubrir el plano con figuras que se repiten, de modo que: Al unir las figuras se recubre completamente el plano. La intersección de dos figuras es vacía.(no se superponen) La figura con la que se realiza la teselación se llama TESELA. Tipos de teselaciones: REGULARES, SEMIREGULARES e IRREGULARES. Act. 1
Reflexionemos… ¿Qué polígonos regulares nos permiten cubrir el plano, siguiendo las reglas de una teselación? ¿Qué otras teselas podemos originar a partir de la unión de polígonos regulares? ¿Cómo podemos generar una nueva tesela, a través de quitar y agregar partes a una tesela ya definida como tal? ¿Qué aplicaciones prácticas le ven a esta transformación?
TESELACIONES REGULARES Es el cubrimiento del plano con polígonos regulares y congruentes. Estos son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. TESELACIÓN DE TRIANGULO DE CUADRADOS DE HEXÁGONO
TESELACIONES SEMIREGULARES Es el cubrimiento del plano con dos o más polígonos regulares y congruentes, cuya unión es idéntica en los vértices. Existen 8 únicas combinaciones de polígonos regulares que permiten embaldosar el plano. Estas son:
TESELACIONES SEMIREGULARES
TESELACIONES IRREGULARES Es el cubrimiento del plano con figuras que no siguen formas regulares, sino que representan animales, caras, etc. Cumplen con el principio “quito-pongo”.
Maurits Cornelis Escher, arquitecto, 1898
Maurits Cornelis Escher
Ejemplos de TESELACIONES Maurits Cornelis Escher, arquitecto, 1898
SIMETRÍA Es una isometría fijada por una recta, llamado eje de reflexión o eje de simetría, cuyos puntos están equidistantes de ella. Significa “algo bien proporcionado, equilibrado.” Son dos subregiones congruentes que en conjunto forman una región, las cuales son divididas por el eje de simetría. Existen tres tipos de simetría: SIMETRÍA POR REFLEXIÓN SIMETRÍA POR TRASLACIÓN SIMETRÍA POR ROTACIÓN Act. 2, 3 y 4
Reflexionemos… ¿Qué sucede con los espejos? ¿En qué cosas de la naturaleza encontramos simetría? ¿Qué instrumentos necesitamos para dibujar una figura simétrica?
Ejemplos de SIMETRÍAS
TRASLACIONES Es el movimiento de una figura en el plano, con una dirección determinada y una magnitud dada por la distancia entre el punto de partida y el punto de llegada. “Es el recorrido que realiza una figura determinado por un vector” Es un símbolo que nos indica un punto de partida, una dirección y un punto de llegada en línea recta. (Nos indica la distancia y el sentido en que debe trasladarse la figura) Act. 5
ROTACIONES Es un giro en torno a: un punto determinado de la figura o fuera de ella, el cual se llama centro de rotación. con cierta magnitud, la cual se llama ángulo de rotación. Esta amplitud se mide en grados. Act. 6
Reflexionemos… ¿A cuántos grados equivale: … un giro completo? … un cuarto de giro? … un medio giro? … tres cuartos de giro? Respuesta: 360° , 90° , 180° , 270°, respectivamente.