31 Olimpiada Matemática Thales Fase Provincial 14 de marzo de 2015 S.A.E.M THALES 1
31 Olimpiada Matemática Thales Fase Provincial 14 de marzo de 2015 PROBLEMA CASIO La pirámide de Topolicán Fase Provincial 14 de marzo de 2015 S.A.E.M THALES 2
Solución Menú Problema nº 4: LA PIRÁMIDE DE TOPOLICÁN El famoso arqueólogo Indiana Barrow está estudiando la conocida pirámide de Topolicán, que está construida por distintos prismas de base cuadrada, con la superficie externa recubierta de oro. Indiana ha escrito en su cuaderno de notas los siguientes datos: La base del monumento es un prisma cuadrangular de 9,72 m de lado, el prisma situado en lo más alto es otro cuadrangular que tiene 4,28 m de lado y la altura total del monumento es de 5,25 m. Todos los prismas tienen la misma altura y los lados de sus caras cuadradas decrecen regularmente (o lo que es lo mismo, su diferencia entre dos caras consecutivas es constante). Calcula, razonando la respuesta, la superficie de oro que tiene la pirámide de Topolicán. Solución Menú 3
Desde cualquiera de los CUATRO laterales veríamos: Solución: Si miramos la pirámide desde los cinco puntos posibles, obtendríamos las siguientes vistas: Mirando desde arriba, veríamos todos los cuadrados dentro del más grande: Desde cualquiera de los CUATRO laterales veríamos: Enunciado Menú 4
Solución: Enunciado Menú Dadas estas vistas, se proponen varias soluciones: Solución aritmética Solución geométrica Solución general Enunciado Menú 5
para la vista desde arriba Solución: Solución Aritmética 1/5 El cálculo del área del cuadrado, es fácil: Por lo tanto, área del cuadrado: 9,72 m · 9,72 m = 94,4784 m2 Aproximadamente 94,48 m2 para la vista desde arriba 9,72 metros Enunciado Menú 6
Solución: Enunciado Menú Solución Aritmética 2/5 La vista lateral está compuesta de cinco rectángulos, conociendo las siguientes medidas. 4,28 metros 5,25 metros 9,72 metros Enunciado Menú 7
Solución: Enunciado Menú Solución Aritmética 3/5 Por lo tanto, habrá que «echar números» para calcular el área de cinco rectángulos. Todos medirán 1,05 m de alto (5,25 : 5) y del ancho de cada rectángulo, conocemos que están en progresión aritmética. Por lo tanto, lo primero será calcular la razón de dicha progresión: Calculamos dicha razón: 9,72 - 4,28 = 5,44 5,44 / 4 = 1,36 Con estos cálculos, buscamos el área de los rectángulos… Enunciado Menú 8
Solución: Enunciado Menú Solución Aritmética 4/5 Base Altura Área Rectángulo 1 4,28m 1,05 m 4,494 m2 Rectángulo 2 5,64 m 5,922 m2 Rectángulo 3 7 m 7,35 m2 Rectángulo 4 8,36 m 8,778 m2 Rectángulo 5 9,72 10,206 m2 Sumando todas las áreas de los rectángulos nos daría 36,75 m2 Enunciado Menú 9
SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 Solución: Enunciado Menú Otra forma de resolución Solución Aritmética 5/5 Área del cuadrado: Área de UNO de los cuatro laterales: 36,75m2 94,48 m2 Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2 SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 Resultado final Enunciado Menú 10
Por lo tanto, área del cuadrado: Solución: Solución Geométrica 1/6 El cálculo del área del cuadrado, es fácil: Por lo tanto, área del cuadrado: 9,72 · 9,72 = 94,4784 Aproximadamente 94,48 m2 9,72 metros Enunciado Menú 11
Solución: Enunciado Menú Solución Geométrica 2/6 En la vista lateral, vemos que a la izquierda de la línea discontinua aparecen cuatro triángulos más oscuros. ¿Los podremos «encajar» en otro sitio? 4,28 metros 5,25 metros 9,72 metros Enunciado Menú 12
Solución: Enunciado Menú Solución Geométrica 3/6 Los trasladamos a otro sitio. Realizamos en cada uno una simetría respecto un vértice… 4,28 metros 5,25 metros 9,72 metros Enunciado Menú 13
Solución: Enunciado Menú Solución Geométrica 4/6 Nos encontramos que encajan perfectamente, formando el área de un… 4,28 metros 5,25 metros 9,72 metros Enunciado Menú 14
Solución: Enunciado Menú Solución Geométrica 5/6 ¡Un trapecio! 4,28 metros 5,25 metros 9,72 metros Enunciado Menú 15
SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 Solución: Enunciado Menú Otra forma de resolución Solución Geométrica 6/6 Calculamos el área del trapecio: 4,28 metros Siendo: BM=Base mayor Bm=Base menor h=Altura 5,25 m 9,72 metros Área del cuadrado: Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2 SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 94,48 m2 Resultado final Enunciado Menú 16
Solución: Enunciado Menú Solución General 1/7 ¿Qué pasaría si nuestra pirámide tuviese otro número de «escalones»? 4,28 metros 5,25 metros … más escalones… 9,72 metros Enunciado Menú 17
Solución: Enunciado Menú Solución General 2/7 Supongamos que la pirámide tuviese «n» escalones: 4,28 metros 5,25 metros … más escalones… 9,72 metros Enunciado Menú 18
Solución: Enunciado Menú Solución General 3/7 Vamos ahora con las áreas de los rectángulos: 4,28 metros Está claro que las anchuras de los escalones siguen una progresión aritmética. Por lo tanto, las áreas de dichos escalones (las alturas son siempre fijas) seguirán también una progresión aritmética. 5,25 metros … más escalones… 9,72 metros Enunciado Menú 19
Solución: Enunciado Menú Solución General 4/7 … más escalones… Sumamos todos los escalones como progresión aritmética… 4,28 metros 5,25 metros … más escalones… 9,72 metros Enunciado Menú 20
Solución: Enunciado Menú Solución General 5/7 Aplicamos la fórmula… 4,28 metros 5,25 metros … … 9,72 metros Enunciado Menú 21
Por lo tanto, área del cuadrado: Solución: Solución General 6/7 Está claro que el área de la pirámide «vista desde arriba» sigue sin cambiar, la única diferencia será que hay más cuadrados, pero el área será la misma: Por lo tanto, área del cuadrado: 9,72 m · 9,72 m = 94,4784 m2 94,48 m2 9,72 metros Enunciado Menú 22
SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 Solución: Enunciado Menú Otra forma de resolución Solución General 7/7 Área del cuadrado: Área de UNO de los cuatro laterales: Para los cuatro laterales: 4 · 36,75 = 147 m2 36,75 m2 94,48 m2 … … SUPERFICIE TOTAL 147 + 94,48 = 241,48 m2 Resultado final Enunciado Menú 23
Solución: Enunciado Menú La superficie de la Pirámide de Topolicán que se encuentra recubierta de oro es de 241,48 m2 HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN ... … pero ¿habrá más formas de calcularla? Enunciado Menú 24