UNA INTRODUCCION Ing. Harold Romo WAVELETS UNA INTRODUCCION Ing. Harold Romo JOAQUÍN LÓPEZ HERRAIZ Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear Universidad Complutense de Madrid. Octubre 2004

CONTENIDO Historia y cronología de las wavelets Fourier Vrs. wavelets Que son las wavelets Transformada Continua de Wavelets CWT Transformada Discreta de Wavelets DWT Análisis Multiresolución y Bancos de filtros Aplicaciones prácticas

1. HISTORIA 1807 (1822) – Joseph Fourier. 1909 – Alfred Haar - primera wavelet. 1946 – Dennis Gabor – Transformada Fourier ventaneada (envolvente Gaussiana). 1981 – Jean Morlet. - señal sísmica - “wavelets” 1984 - Alex Grossman, Morlet desarrollan El término wavelet

1. HISTORIA 1985 – Ives Meyer. Wavelets-“ortogonalidad” & discretización. 1986 – Stéphane Mallat – multiresolución - wavelet. 1987 – Ingrid Daubechies. la primera wavelet ortogonal - soporte compacto - filtrado digital.

1. HISTORIA 1990 – David Donoho y Johnstone usan los wavelets para eliminar el ruido de una señal. 1992 – El FBI usa los wavelets para comprimir su base de datos 30 millones de huellas dactilares. 1998 - Walt Disney Pictures y Pixar Animation Studios. Largometraje de animación informática llamado Bichos.

gn(t)= e jwt exponenciales complejas (sinusoides) 2. FOURIER VRS. WAVELETS Análisis de Fourier gn(t)= e jwt exponenciales complejas (sinusoides) En Ing. Electrónica y Eléctrica es la forma natural de respuesta de los sistemas. Son fáciles de sintetizar por que permiten Superposición. Útil para fenómenos: Periódicos Invariantes en el tiempo Estacionarios

¿Y las señales no estacionarias o no periódicas que?. 2. FOURIER VRS. WAVELETS ¿Y las señales no estacionarias o no periódicas que?. La Transformada Fourier de Periodo Corto STFT, resuelve en parte el problema: La Transformada de Gabor utilizó ventanas de envolvente Gaussiana mejorando la resolución, mas no fue suficiente.

2. FOURIER VRS. WAVELETS La resolución temporal y la resolución en frecuencia están acopladas. [principio similar al de Heisenberg] Dt .Dw ≥ p Las wavelets sí dan información simultánea de tiempo y frecuencia.

2. FOURIER VRS. WAVELETS

3. Que son las WAVELETS Familia de funciones para análisis de señales, con información Simultanea en Tiempo y Escala (frecuencia) Útil para fenómenos: Transitorios Variantes en el tiempo No estacionarios Continua Discreta

3. Que son las WAVELETS Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”... Wavelet de Haar (1909)

Wavelet de Daubechie (orden 4) (1987) 3. Que son las WAVELETS Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”... Wavelet de Daubechie (orden 4) (1987)

Wavelet con Spline lineal 3. Que son las WAVELETS Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”... Wavelet con Spline lineal

3. Que son las WAVELETS STFT DWT El análisis de wavelets: Nos da información sobre el espectro de frecuencias en función del tiempo. La resolución espectral de una frecuencia f es: Df  f La resolución temporal de esta frecuencia es: Dt  1/f (Dt.Df = cte). STFT DWT

4. Transformada Continua de Wavelets CWT La Transformada CWT de x(t) está dada por: La Transformada CWT inversa está dada por:

5. Transformada Discreta de Wavelets DWT La Transformada DWT de x(t) está dada por: (coeficientes wavelets)

Traslaciones y dilataciones

6. Análisis Multiresolución y bancos de filtros wj Vj Vj+1=VjWj

Localización frecuenical DESCOMPOSICIÓN WAVELET MULTINIVEL Escala j Localización frecuenical [0, fMÁX / 2 j]

Deducción de coeficientes por convolución - filtraje iterativo

7. Aplicaciones prácticas Pasemos a la práctica

Construcción de wavelets a partir de sus coeficientes de filtro LO_R Wavelet Daubechies db2 (construwavedb2.m)

Descomposición de una señal seno-ruidosa en sus componentes a 5 niveles

Muchas gracias