Pronósticos, Series de Tiempo y Regresión Capítulo 3: Regresión Lineal Simple

Temas Modelo de Regresión Lineal Simple Estimaciones puntuales de los mínimos cuadrados Estimaciones puntuales y predicciones puntuales Suposiciones del modelo y el error estándar Prueba de la significancia de la pendiente y la ordenada al origen Intervalos de confianza y de predicción Coeficientes de determinación y correlación simples Una prueba F para el modelo

Modelo de Regresión Lineal Simple Supuesto básico: la relación entre la variable dependiente (y) y la variable independiente (x) es aproximadamente una linea recta.

Modelo de Regresión Lineal Simple Diagrama de dispersión

Modelo de Regresión Lineal Simple Diagrama de dispersión observamos: tendencia negativa puntos dispersados alrededor de la línea

Modelo de Regresión Lineal Simple y = μy|x +  = β0 + β1x +  Donde μy|x = β0 + β1x es el valor medio de la variable dependiente y cuando el valor de la variable independiente es x. β0 = ordenada al origen (valor medio de y cuando x = 0) β1 = pendiente ( valor medio de y cuando  x una unidad)  es un término de error: describe los efectos de todos los factores no incluidos en el modelo

Modelo de Regresión Lineal Simple Si β0 = 15.77 y β1 = -0.1281, entonces cuando la temperatura x = 28, el valor medio de consumo de combustible que observamos es μy|x = β0 + β1x = 15.77 – 0.1281(28) = 12.1832 MMcf de gas natural.

Modelo de Regresión Lineal Simple Si β0 = 15.77 y β1 = -0.1281, entonces cuando la temperatura x = 29, el valor medio de consumo de combustible que observamos es μy|x = β0 + β1x = 15.77 – 0.1281(29) = 12.0551 MMcf de gas natural. La diferencia = 12.0551 - 12.1832 = -0.1281

Modelo de Regresión Lineal Simple β0 y β1 se llaman parámetros de regresión. Ya que no conocemos los valores reales de β0 y β1 , debemos estimarlos con los datos de la muestra. (Nota: la interpretación de β0 a veces no es aplicable.) Importante: observamos que estas variables se mueven juntas, mas no podemos deducir una relación causa-efecto.

Estimaciones puntuales de los mínimos cuadrados estimación puntual de los mínimos cuadrados de la pendiente β1 Copia esto en el pizarrón. Haz el ejemplo en Excel con los datos de fuel.

Estimaciones puntuales y predicciones puntuales Estimación puntual del valor medio de la variable dependiente cuando el valor de la variable independiente es x0 se predice  = 0

Estimaciones puntuales y predicciones puntuales Se puede demostrar que estas estimaciones puntuales dan un valor de la suma de los residuos cuadráticos (SSE) que es menor que la que se obtiene con cualesquiera otros valores de b0 y b1. Se les llaman estimaciones puntuales de los mínimos cuadrados. la recta se llama recta de regresión de mínimos cuadrados la ecuación se llama ecuación de prediccción de mínimos cuadrados. Estimar la ecuación en Excel (fuel, QHIC).

Suposiciones del modelo y el error estándar A cualquier valor dado de x, la media de la población de los valores potenciales del término error es igual a cero. Suposición de la varianza constante. A cualquier valor dado de x,  tiene una varianza que no depende del valor de x. Suposición de la normalidad. A cualquier valor dado de x,  tiene una distribución normal. Suposición de la independencia. Cualquier valor del término error  es estadísticamente independiente de cualquier otro valor de .

Suposiciones del modelo y el error estándar En otras palabras, dado un valor de x, la población de valores potenciales del término de error tiene una distribución normal, con valor medio 0 y varianza σ2 que no depende de x. La población de valores potenciales de y|x tiene distribución normal con valor medio de β0 + β1x y varianza σ2 que no depende de x. Es más probable que la suposición de independencia se viole cuando se utilizan series temporales en un estudio de regresión.

Suposiciones del modelo y el error estándar Error cuadrático medio = estimación puntual de σ2 error estándar = estimación puntual de σ vary|x Copiar al pizarrón, calcular con los datos ya calculados del fuel.

Prueba de la significancia de la pendiente y la ordenada al origen Hipótesis nula: β1 = 0 nivel de significancia α (0.10, 0.05, 0.01) los valores p se basan en n-2 grados de libertad Se rechaza la hipótesis nula si se cumple la condición de punto de rechazo de alguna de las hipótesis alternativas, o si p < α Volver a ver los resultados de la regresión en Excel.

Prueba de la significancia de la pendiente y la ordenada al origen Si se cumplen los supuestos de la regresión, entonces la población de todos los valores posibles de b1 es normalmente distribuida con valor medio β1 y desviación estándar cuya estimación puntual es

Prueba de la significancia de la pendiente y la ordenada al origen y la población de todos los valores posibles de la estadística de prueba t tiene una distribución t con n – 2 grados de libertad.

Prueba de la significancia de la pendiente y la ordenada al origen Hipótesis alternativa Condición de punto de rechazo Valor p Ha : β1 ≠ 0 2  (área bajo la curva t a la derecha de |t|) Ha : β1 > 0 área bajo la curva t a la derecha de t Ha : β1 < 0 área bajo la curva t a la izquierda de t

Intervalos de confianza y de predicción Si se cumplen las suposiciones de la regresión, un intervalo de confianza de 100(1-α)% para la pendiente verdadera β1 es

Intervalos de confianza y de predicción Si se cumplen las suposiciones de la regresión, un valor de distancia (v.d.) para un valor particular x0 de x (para la regresión lineal simple) es

Intervalos de confianza y de predicción Si se cumplen las suposiciones de la regresión, un intervalo de confianza de 100(1-α)% para el valor medio de y cuando la variable independiente es x0 es

Intervalos de confianza y de predicción La población de todos los errores posibles de predicción está normalmente distribuida con media cero y desviación estándar σ√1 + valor de distancia La estimación puntual es s√1 + valor de distancia Se llama error estándar del error de predicción

Intervalos de confianza y de predicción Si se cumplen las suposiciones de la regresión, un intervalo de predicción 100(1-α)% para un valor individual de y cuando la variable independiente es x0 es

Intervalos de confianza y de predicción Nótese que el intervalo de predicción es mayor que el intervalo de confianza: mayor incertidumbre acerca del término de error. Entre más alejado del valor medio es xi, mayores son los intervalos de confianza y de predicción.

Coeficientes de determinación y correlación simples En el caso del modelo de regresión lineal simple, Variación total = Σ(yi-y)2 Variación explicada = Σ(yi-y)2 Variación inexplicada = Σ(yi-yi)2 Variación total = Variación explicada + Variación inexplicada El coeficiente de determinación simple es r2 = (variación explicada)/(variación total) El r2 es la proporción de la variación total en los n valores observados de la variable dependiente que explica el modelo de regresión lineal simple 0<r2<1

Coeficientes de determinación y correlación simples Coeficiente de correlación simple (r) entre y y x si b1 > 0 si b1 < 0 donde b1 es la pendiente de la recta de mínimos cuadrados que relaciona y con x. Este coeficiente de correlación mide la fuerza de la relación lineal entre y y x. -1<r<1 valor de r no es la pendiente correlación alta no significa causación

Coeficientes de determinación y correlación simples También se puede calcular mediante la fórmula -1<r<1 calcular utilizando los valores SS ya calculados para fuel

Coeficientes de determinación y correlación simples La correlación de la población de todas las combinaciones posibles de valores observados de x e y se denomina ρ Para probar la hipótesis nula H0: ρ = 0, utilizamos la estadística de prueba Suposición: la población de combinaciones posibles de x e y tiene una distribución de probabilidad normal bivariable

Una prueba F para el modelo estadística F global F(modelo) = Variación inexplicada (Variación explicada)/(n-2) Podemos rechazar H0:β1=0 y aceptar Ha: β1≠0 en el nivel de significancia α si se cumple alguna de: F(modelo)>F[α] Valor p < α En el punto F[α] se basa en 1 grado de libertad para el numerador y n-2 grados de libertad para el denominador. volver a los resultados