El resultado de la suma de los n primeros números impares es . siempre igual a n2. 1+3+5+7+…+(2n–1)=n2 (n1) Veamos lo que esto significa: (2n–1) genera los números impares Para n=1 tenemos 21–1= 1 primero Para n=2 tenemos 22–1= 3 segundo Para n=3 tenemos 23–1= 5 tercero Para n=4 tenemos 24–1= 7 cuarto

El resultado de la suma de los n primeros números impares es siempre igual a n2 . 1+3+5+7+…+(2n–1)=n2 (n1) Queremos calcular la suma de los diez primeros números impares Para n=10 210–1=19 décimo 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =100 =102 n2

Haremos una demostración por Inducción Completa de esta igualdad 1+3+5+7+…+(2n–1)=n2 = n2 n1 . 1- Inicio de la inducción En este caso para n=1 = 12 21–1 = 2–1 = 1 Es válida para n=1

1+3+5+7+…+(2n–1)=n2 n1 2- Paso de inducción Suponiendo que se cumple para un elemento cualquiera k Hipótesis Probaremos que se cumple para su sucesor k+1 Tesis

1+3+5+7+…+(2n–1)=n2 n1 . 2- Paso de inducción La suponemos cierta y Hipótesis 1+3+5+7+…+(2k–1)=k2 la utilizamos para probar la tesis Tesis 1+3+5+7+…+ 2(k+1)–1 =(k+1)2

2- Paso de inducción Hipótesis: 1+3+5+7+…+(2k–1)=k2 . Demostración 1+3+5+7+… = 2(k+1)–1 + k2 +2k+2–1 = k2 +2k+1 = (k+1)2 Tesis: 1+3+5+7+…+ 2(k+1)–1 = (k+1)2 Es válida para n=k+1

n1 1+3+5+7+…+(2n–1)=n2 . 1- Inicio de la inducción La igualdad es válida para todos los n N* Es válida para n=1 2- Paso de inducción 2- Paso de inducción Suponiendo que es válida para n=k Hemos probado que es válida para n=k+1

. Para toda n  N n3–n es siempre divisible por 3 Si n=0 03–0= 0 div. por 3 Si n=1 13–1= 0 div. por 3 Si n=2 23–2= 8–2=6 div. por 3 Si n=3 33–3=27–3=30 div. por 3 Si n=4 43–4=64–4=60 div. por 3 . Inducción empírica

n3–n es siempre divisible por 3 . Para toda n  N n3–n es siempre divisible por 3 . 1- Inicio de la inducción Ya quedó probado en la parte empírica 2- Paso de inducción Hipótesis: k3–k es div. por 3 k3–k = 3m ; m N Tesis: (k+1)3–(k+1) es div. por 3 (k+1)3–(k+1) = 3p ; p  N

Demostración (k+1)3–(k+1) = k3 +3k2+3k+1 –k –1 = k3–k + 3k2+3k 2- Paso de inducción Demostración (k+1)3–(k+1) = k3 +3k2+3k+1 –k –1 = k3–k + 3k2+3k Usamos la Hipótesis = 3m + 3k2+3k p  N =3(m+k2+k) = 3p ; k3–k = 3m ; m N Hip: (k+1)3–(k+1) = 3p ; p  N Tesis:

Se cumple que n3–n es siempre divisible por 3 para todo n N 2- Paso de inducción Demostración . (k+1)3–(k+1) = k3 +3k2+3k+1 –k –1 = k3–k + 3k2+3k Usamos la Hipótesis = 3m + 3k2+3k p  N =3(m+k2+k) = 3p ; Se cumple para k+1 Se cumple que n3–n es siempre divisible por 3 para todo n N

Para toda n  N n3–n es siempre divisible por 3 . n3–n = n (n2–1) = n (n–1) (n + 1) = (n–1) n (n + 1) En tres números naturales consecutivos siempre existe uno que es múltiplo de 3 , por tanto ese producto es divisible por 3 Queda probado que n3–n es siempre divisible por 3 ; n  N