OSCILADOR ARMÓNICO FORZADO Objetivos! Estudiar oaf Mirar cómo cables! Dato coef.amort., método comparativo Amortiguamiento – Resonancia Fernando Hueso González Laboratorio de Mecánica y Ondas Campus de Burjassot - Valencia 2º Física – UVEG 9 de marzo de 2009 1

OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE FUNDAMENTOS TEÓRICOS OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE Ecuación diferencial OAS Solución: Multitud de fenómenos físicos oscilantes (ideales) Movimiento circular Muelle ideal (Ley de Hooke) Tubo en U de agua Circuitos eléctricos LC Aproximación pequeñas oscilaciones Péndulo simple Potenciales Periódico Armónico + complicado, no lineales-acoplados, + dimensiones Velocidad, energía, k, derivadas Si forzamos, infinito

OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO FUNDAMENTOS TEÓRICOS OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Término disipativo (fuerza viscosa) Amplitud: decaimiento exponencial Amortiguamiento sobreamortiguado, crítico, infraamortiguado Sobreamortiguado β>ω0 Amortiguado críticamente β=ω0 Infraamortiguado β<ω0 Ya tienes en cuenta resistencia!! 1 paso más RL? RC?

OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADO FUNDAMENTOS TEÓRICOS OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADO Término inhomogéneo periódico Solución homogénea (transitoria) y particular (permanente) Forzamiento armónico: Para t largos sólo la solución particular (ω=cte) No depende de condiciones iniciales, F y δ determinados por sistema oscilante Curva lorenciana  Resonancia (D) Control de fenómenos físicos Circuito RLC Osciladores micromecánicos

AMORTIGUAMIENTO Y RESONANCIA FUNDAMENTOS TEÓRICOS AMORTIGUAMIENTO Y RESONANCIA Función lorenciana (asimétrica) Coeficiente de amortiguamiento Factor de calidad Sucesión resonancias +asimétrica cuanto más cerca de amort.crítico Lorenciana wR hacia la izquierda 2beta para energía promedio También lorenciana potencia, ahí si que partido por dos Puente tacoma aerolastic flutter, self-excitation, torsión

DISPOSITIVO EXPERIMENTAL TÉCNICA EXPERIMENTAL DISPOSITIVO EXPERIMENTAL Oscilador armónico forzado Péndulo físico  Pares de fuerzas Imán amortiguador Muelles Motor Control mediante generador tensión variable, interfaz y ordenador Frecuencia y amortiguamiento regulables Desviación angular ‘vs’ tiempo  θ(t) Péndulo físico Mucha pasta!! Para obtener la ecuación de movimiento del péndulo podemos comenzar escribiendo el momento de las fuerzas aplicadas en función del momento de inercia del péndulo, I, y de su aceleración angular: 2 dt d I M θ = (1) Una de las fuerzas aplicadas al sistema será la fuerza de la gravedad, cuyo momento respecto al centro de giro del péndulo puede expresarse como: θ sin mgh M p − = (2) donde m es la masa del péndulo (disco y tara), y h es la distancia desde el centro de suspensión hasta el centro de gravedad. Además del peso, sobre el péndulo se ejercen fuerzas de rozamiento, que tienden a amortiguarlo. Estas fuerzas suelen ser proporcionales a la velocidad del objeto en movimiento, y su momento puede escribirse como: b Mr θ − = (3) Con esto, la ecuación de movimiento para el péndulo queda: 0 sin 2 = + + θ θ θ mgh b I . (4) Si consideramos oscilaciones de pequeña amplitud podremos hacer la aproximación θ θ ≈ sin . De esta forma obtenemos la ecuación de movimiento del péndulo físico, que coincide con la ecuación del movimiento armónico amortiguado. Dividiendo por I, podemos escribir la ecuación como: 0 2 2 0 2 = + + θ ω θ β (5) donde hemos definido la frecuencia propia del sistema como ω0: I = 0 ω (6) y el factor de amortiguamiento β como: = β

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL TÉCNICA EXPERIMENTAL PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Estudiar amortiguamiento – Decaimiento exponencial Desplazar respecto a posición de equilibrio Registrar θ(t) Medir frecuencia; máximos, θbase; ley exponencial Ajustar ω’ , β Oscilador forzado - Curva de resonancia Registrar θ(t) para cada V Medir θmax, ω Ajustar a curva de resonancia  ω0, β Cambiar amortiguamiento (+ comparar) Comparar valores para cada amortiguamiento Valor a partir del ajuste al amortiguamiento exponencial Valor a partir del ajuste a la curva de resonancia Xa logra objetivo: estudiar arm.forz y dato amortiguamiento,  Mejor muchas posiciones imán xo imprecisiones...

ADQUISICIÓN DE DATOS Estudiar amortiguamiento RESULTADOS ADQUISICIÓN DE DATOS Estudiar amortiguamiento Desplazar del equilibrio  decaimiento exponencial amplitud Comparar distintos coeficientes, distancia imán h/2 h θ ± 0,001 t ± 0,1s 0,367 0,1 5,201 0,8 -0,573 1,1 4,363 1,9 -0,995 2,1 3,892 2,9 -1,187 3,0 3,648 3,8 -1,257 ∞ 3,508 4,7 3,421 Plano, muelles, ... tecta base

ADQUISICIÓN DE DATOS RESULTADOS V ± 0,1 V A1+ ± 0,001 A1- A2+ A2- A3+ ti ± 0,1 s tf 2,0 0,332 -0,140 0,349 -0,122 0,6 10,0 2,5 0,454 -0,017 1,4 9,4 3,0 0,105 -0,436 0,087 7,4 3,5 0,000 -0,663 -0,646 1,1 6,4 3,7 0,506 -0,157 0,5 5,6 3,9 0,716 0,698 0,7 4,1 0,052 -0,681 0,036 -0,698 5,9 4,3 0,227 -0,524 0,244 4,8 4,5 0,367 -0,454 0,3 4,4 4,7 0,681 -0,227 -0,209 0,2 4,9 0,541 -0,559 5,0 0,998 -0,297 -0,279 0,4 3,8 5,2 0,157 -1,134 0,175 -1,152 0,1 3,6 5,4 2,129 -0,035 2,112 2,147 2,409 -0,105 2,443 -0,087 2,391 5,8 1,990 -0,419 2,007 3,4 6,0 2,025 -0,262 1,955 6,2 0,314 -1,623 0,279 -1,588 2,9 6,5 1,152 -0,506 1,134 1,117 7,0 0,419 2,7 7,5 0,820 0,803 0,035 8,0 0,593 0,611 8,5 0,070 -0,348 -0,367 9,0 0,140 0,122 -0,244 2,1 9,5 0,297 2,3 4,0 5,7

ADQUISICIÓN DE DATOS RESULTADOS V ± 0,1 V A1+ ± 0,001 A1- A2+ A2- A3+ ti ± 0,1 s tf 2,0 0,489 0,000 2,1 14,1 2,5 0,087 -0,419 0,7 9,3 3,0 0,017 -0,541 0,035 -0,524 1,4 7,9 3,5 0,663 -0,070 -0,052 -0,005 0,5 5,0 3,8 -0,663 0,9 5,8 4,1 0,698 0,8 5,2 4,4 -0,750 0,6 4,8 4,7 0,175 -0,785 4,3 0,209 -1,012 0,192 0,4 4,0 5,3 -1,606 -1,588 0,1 5,6 1,100 -1,868 1,047 -1,972 -1,792 0,2 3,4 5,9 0,419 -2,234 0,401 -2,217 3,3 6,2 0,908 -1,222 0,838 -1,257 0,890 -1,239 0,3 6,5 1,030 -0,716 1,065 -0,698 2,9 7,0 1,187 1,169 1,152 0,052 7,5 -0,803 2,6 8,0 -0,105 8,5 0,314 -0,157 0,297 -0,140 2,7 9,0 -0,087 0,279 9,5 -0,244 1,0 10,0 -0,175 0,070 1,8

TRATAMIENTO DE DATOS RESULTADOS ω (s-1) 1,57 0,03 2,19 0,05 2,90 0,09 0,2358 0,0007 0,21% 2,01 0,04 0,2445 0,00% 1,57 0,03 0,2355 2,36 0,06 0,2530 2,19 0,05 0,265 0,002 3,40% 2,77 0,08 0,2792 0,18% 2,90 0,09 0,326 2,61% 3,56 0,13 0,3527 0,0081 9,19% 4,19 0,19 0,3315 3,70 0,14 0,3490 3,85 0,16 0,352 2,56% 0,3810 0,0023 2,36% 4,28 0,3666 0,07% 0,4185 4,5 0,2 0,378 2,25% 4,4 0,4742 0,0044 3,69% 5,0 0,3 0,4105 4,6 0,6048 0,0021 1,41% 5,2 0,457 1,97% 4,8 0,9017 1,00% 5,5 0,5500 1,4798 0,0159 4,29% 5,9 0,4 0,645 1,40% 1,3148 1,33% 6,5 0,658 0,005 2,74% 5,4 1,0590 1,65% 7,0 0,5 1,082 0,004 1,62% 0,8787 0,97% 1,257 1,35% 6,1 0,5673 0,0088 6,17% 7,5 0,6 1,210 6,3 0,4042 4,33% 8,2 0,7 1,123 0,013 4,67% 0,2970 9,0 0,9 0,960 1,82% 6,7 0,2298 0,0043 7,40% 9,9 1,0 0,826 1,03% 0,1862 9,40% 0,547 0,009 6,40% 0,1452 5,86% 11,1 1,3 0,399 0,006 6,52% 0,1165 7,73% 11,8 1,5 0,300 3,01% 8,6 0,8   0,212 4,47% 0,192 9,38% 0,151 5,62% 10,5 1,2 0,1310 Gran cantidad de datos Se calcula a1, a2, a3 Amed, dA Ti, tf, T, w Mejorable períodos

TRATAMIENTO DE DATOS Coeficiente de amortiguamiento ln θ0 0,71 ± 0,18 RESULTADOS TRATAMIENTO DE DATOS Coeficiente de amortiguamiento ln θ0 0,71 ± 0,18 β (s-1) 1,07 ± 0,10 r 0,992 ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7 B’=0.8 Pocos puntos, poco tiempo

TRATAMIENTO DE DATOS Imán alejado (x2)  Comparación ln θ0 0,71 ± 0,18 RESULTADOS TRATAMIENTO DE DATOS Imán alejado (x2)  Comparación ln θ0 0,71 ± 0,18 1,33 ± 0,17 β (s-1) 1,07 ± 0,10 0,77 ± 0,05 r 0,992 0,993 ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7 ln θ0 1,33 ± 0,17 β (s-1) 0,77 ± 0,05 r 0,993 ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 ω0 (s-1) Aquí más puntos, más escala t

RESULTADOS TRATAMIENTO DE DATOS Restar fondo de resonancia (parámetro adicional)  Ajuste ω0 (s-1) 6,35 ± 0,03 β (s-1) 0,51 ± 0,04 ωR (s-1) 6,31 ± 0,03 θ0 (rad) 0,05 ± 0,03 F (s-2) 7,8 ±0,7 r 0,9898 Fondo resonancia + posible error tectao Dos curvas resonancia, sucesión, armónicos resonancia

TRATAMIENTO DE DATOS Imán amortiguador más alejado (x2) ω0 (s-1) RESULTADOS TRATAMIENTO DE DATOS Imán amortiguador más alejado (x2) ω0 (s-1) 6,30 ±0,04 β (s-1) 0,46 ±0,08 ωR (s-1) 6,27 ± 0,04 θ0 (rad) 0,01 ± 0,05 F (s-2) 9,4 ±1,3 r 0,972

TRATAMIENTO DE DATOS Gráfica comparativa - Amortiguamiento ω0 (s-1) RESULTADOS TRATAMIENTO DE DATOS Gráfica comparativa - Amortiguamiento ω0 (s-1) 6,35 ± 0,03 6,30 ±0,04 β (s-1) 0,51 ± 0,04 0,46 ±0,08 ωR (s-1) 6,31 ± 0,03 6,27 ± 0,04 Mucho más alta la negra, pero apenas diferencia en betas

RESULTADOS CONCLUSIÓN h/2 h Media ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 6,33 ± 0,03 -1,11% 6,28 ± 0,04 -1,86% 0,36% ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7 6,35 ± 0,03 -2,36% 6,30 ±0,04 -1,59% 1,17% β (s-1) 1,07 ± 0,10 0,51 ± 0,04 52,34% 0,77 ± 0,05 0,46 ±0,08 -10,87% 0,79 ± 0,14 0,62 ± 0,08 22,15% ωR (s-1) 6,3 ± 0,7 6,31 ± 0,03 0,18% 6,27 ± 0,04 -0,64% 6,30 ± 0,7 0,43% Poca diferencia en coeficientes de amortiguamiento  Errores ¿Ángulos pequeños? ; Pocos puntos Estado de los muelles del dispositivo Dispersión 2as medidas (frecuencia detección) Mejoras Medida períodos Menor amortiguamiento, más posiciones imán Compatibilidad datos  Experimento satisfactorio Q1 = 4,0 ± 0,8 Q2 = 5,2 ± 1,5 Cadena de distancia imanes, ajustar, r3 Muchas medidas 2º peor Si ajustas con más parámetros, b1=0,8, 0.51

Tipler-Mosca, 5ª Ed. 2005; Ed. Reverté; Vol. 1 BIBLIOGRAFÍA Guión de prácticas del Laboratorio de Mecánica y Ondas, 2º de Física – UVEG, 2008 (Ana Cros, Chantal Ferrer, Andrés Cantarero) Apuntes de Mecánica y Ondas, 2º de Física – UVEG, 2008 (Chantal Ferrer) Tipler-Mosca, 5ª Ed. 2005; Ed. Reverté; Vol. 1 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica (Universidad País Vasco) Dirección de contacto: Ferhue[a[alumni.uv.es Página Web: http://mural.uv.es/ferhue 18