Límites de funciones. Continuidad.

Límite de una función en un punto. Límites laterales. Decimos que la función f tiene límite L en x = a, cuando al aproximar x hacia a, f(x) se aproxima hacia L. Simbólicamente se escribe: Ejemplo.- Los límites por la izquierda y por la derecha se denomina límites laterales y se representan simbólicamente por: Ejemplo.- El límite limx  af(x) = L existe si existen a su vez los límites laterales y éstos son iguales, o sea:

s ≤

Límites en el infinito. Asíntotas. Si Decimos que f(x) tiene una asíntota horizontal y = k (recta a la que se aproxima la función en el infinito, pero nunca llega a cortarla) Si Decimos que f(x) tiene una asíntota vertical x = a (recta vertical a la que se aproxima la función, pero nunca llega a cortarla) Ejemplo.- Si como La función f, tiene una asíntota horizontal y = 2 y una asíntota vertical x = 1

2,01 2,001 2,0001 4.41 4.0401 4.004001 4.00040001

Cálculo de límites en un punto. Limite de funciones continuas.- Para calcular el límite de f basta con sustituir en la función f(x) Ejemplo.- Limite del tipo k/0 (k0).- Se calculan los límites laterales, que serán - y/o +, resultado una asíntota vertical en dicho punto Ejemplo.-

Cálculo de límites en un punto. Indeterminación del tipo 0/0 de una función racional .- Hay que estudiar cada caso en particular (en ocasiones simplificando) Ejemplo.- Indeterminación del tipo 0/0 de una función irracional .- Hay que estudiar cada caso en particular (en ocasiones se multiplica por el conjugado) Ejemplo.-

Cálculo de límites en el infinito. Limites no indeterminados.- Algunos límites se pueden calcular de manera inmediata Ejemplos.- ya que en el primer caso es evidente, en el segundo caso, cuando x tiende a infinito -3x+2 es despreciable frente a –x3, y en el tercer caso, conforme crece x en valor absoluto, 1/x es mas pequeño. Limite del tipo / en funciones racionales.- Se divide el numerador y el denominador por x elevado a la máxima potencia del denominador y se calcula el límite en cada uno de los términos del numerador y denominador. Ejemplo.-

Cálculo de límites en el infinito. Indeterminación del tipo -.- En ocasiones se intentar convertirla a /. Ejemplo.-

Cálculo de límites en el infinito. Indeterminación del tipo - con radicales.- En ocasiones se multiplica y divide por la expresión conjugada Ejemplo.-

Límites trigonométricos Veamos algunos ejemplos de límites de funciones trigonométricas Ejemplos.-

- lim -

- 1

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