T2.1 No linealidad geométrica por grandes desplazamientos y rotaciones

T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.1. Introducción Las deformaciones lineales no son invariantes ante rotaciones de sólido rígido Cualquier movimiento de sólido rígido se puede representar como: La matriz R(t) es una matriz ortogonal: R-1 = RT; RT R = I, la demostración de esta propiedad se deduce a partir de la consideración de que las rotaciones de sólido rígido no producen alargamiento de las fibras. Considerando un elemento no deformado que sufre una rotación de sólido rígido: Calculando las deformaciones lineales infinitesimales: Si q es grande, las deformaciones longitudinales son no nulas, y por lo tanto la deformación lineal o de Cauchy no es un tensor de deformaciones valido en problemas con grandes desplazamientos y/o deformaciones.

T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.1. Introducción ¿Hasta que punto tienen que ser grandes las rotaciones para que el análisis no lineal sea necesario? La magnitud de las deformaciones lineales no nulas del ejemplo previo es una medida del error producido por la Hipótesis de pequeños desplazamientos. Expandiendo cosq en su desarrollo en serie de Taylor y sustituyendo en las deformaciones: El error en las deformaciones lineales es de segundo orden en las rotaciones que se producen. Dependiendo del nivel de las deformaciones de interés de un análisis lineal, es posible realizar el análisis en teoría lineal o no: - Si las deformaciones a calcular son del orden de 10-2 y un error del 1% es aceptable, entonces las rotaciones máximas pueden ser del orden de 10-2 radianes ( unos 0.6 grados), ya que el error en las deformaciones lineales será del orden de 10-4. - Si las deformaciones de interés son más bajas, del orden de 10-4, las rotaciones no deben sobrepasar los 10-3 radianes (0.06 grados) para limitar el error al 1%. Todas estas consideraciones asumen que no se produce pandeo, y que por lo tanto la solución de equilibrio es estable, si se produce pandeo (lo que puede suceder con muy pequeñas deformaciones), las deformaciones lineales no son válidas. Tipos de formulaciones de la malla con grandes desplazamientos y deformaciones: Lagrangiana o del material Euleriana o espacial ALE (Arbitrarian Lagrangian-Eulerian description)

T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.1. Introducción Existen diversas medidas de la deformación que funcionan correctamente con grandes desplazamientos, al ser invariantes frente a rotaciones de sólido rígido y que coinciden con las deformaciones ingenieriles en pequeños desplazamientos La más habitual es el tensor de deformación de Green-Lagrange Cada medida de la deformación tiene un par conjugado en términos de trabajo, en el caso de la deformación de Green-Lagrange, se trata de la tensión segunda de Piola-Kirchhoff

T2. 1 No linealidad geométrica (II) 2. 1. 2 T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.2. Tensores de tensiones y deformaciones DEFORMACIONES

T2. 1 No linealidad geométrica (II) 2. 1. 2 T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.2. Tensores de tensiones y deformaciones DEFORMACIONES Luego:

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T2. 1 No linealidad geométrica (II) 2. 1. 2 T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.2. Tensores de tensiones y deformaciones DEFORMACIONES

T2. 1 No linealidad geométrica (II) 2. 1. 2 T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.2. Tensores de tensiones y deformaciones DEFORMACIONES

T2. 1 No linealidad geométrica (II) 2. 1. 2 T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.2. Tensores de tensiones y deformaciones DEFORMACIONES

T2. 1 No linealidad geométrica (II) 2. 1. 2 T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.2. Tensores de tensiones y deformaciones DEFORMACIONES Teorema de descomposición polar

T2. 1 No linealidad geométrica (II) 2. 1. 2 T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.2. Tensores de tensiones y deformaciones TENSIONES PTV

T2. 1 No linealidad geométrica (II) 2. 1. 2 T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.2. Tensores de tensiones y deformaciones PTV Tensión segunda de Piola-Kirchhoff (S) y tensión de Cauchy rotada (s’)

T2. 1 No linealidad geométrica (II) 2. 1. 2 T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.2. Tensores de tensiones y deformaciones PTV

T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.3. Formulación TL

T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.3. Formulación TL

T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.3. Formulación TL

T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.3. Formulación TL

T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.3. Formulación TL

T2.1 No linealidad geométrica (II) 2.1.4. Barra articulada