M. en C. René Benítez López Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa (Versión preliminar) Triángulos semejantes M. en C. René Benítez López

Concepto de semejanza de triángulos Los polígonos de al lado tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño; ellos son semejantes. Mediante la semejanza de triángulos se pueden calcular distancias inaccesibles. Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol se hace lo siguiente: C Los triángulos ABC y ADE son semejantes, lo cual se denota así: E A D B

Al separar los triángulos de la figura anterior se tiene lo siguiente: C B A A E D En ellos se tiene: Dado que las longitudes en el piso y la longitud en el asta se pueden medir, entonces usando una de las proporciones anteriores se obtiene la altura del árbol. Observe:

En la semejanza de triángulos; la igualdad de las medidas de los ángulos, define una correspondencia entre los vértices, los ángulos y entre los lados de los triángulos. Dichas correspondencias se denotan con una flecha de doble punta , lo cual se lee “se corresponde con”. Observe: Supóngase que Entonces, se tiene F E D C B A Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida y si sus lados correspondiente son proporcionales.

La sombra que una persona proyecta al alejarse de un farol es 1/3 de su distancia al poste del farol. Si la persona mide 1.70 m y la punta de la sombra dista de dicho poste 12 m, ¿qué altura tiene el farol y qué longitud tiene la sombra? Un topógrafo desea medir el ancho de una montaña, por donde se pretende hacer un túnel desde un punto A hasta un punto B, opuesto a ella y visibles ambos desde un punto C en la llanura, como se muestra en la figura adjunta. Para ello él localiza los puntos D y E de modo que Calcule la longitud del túnel.

Se dispone de dos tirantes, uno de 30 m y otro de 25 m, para contener un puente de 33 m de largo como se muestra en la figura adjunta, en donde . Entonces: ¿A qué distancia está el punto C de las bases de los postes ? Si , ¿cuánto mide el poste ?. 3 1 D C B A ¿Cuál de los segmentos de la figura mide ?

Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos de uno miden lo mismo que dos ángulos del otro. C B A E Si , ¿son semejantes los triángulos ABC y DEC ? Si la razón de los lados correspondientes es uno, los triángulos son congruentes. D C B A E F El símbolo de congruencia es y se lee “ es congruente con”. porque:

D C B A O Si y O es punto medio de , ¿son congruentes los triángulos AOB y COD ?

Fin