ESTADISTICA TEMA 13

Estimación de intervalo para la proporción poblacional En el tema de distribuciones muestrales para la proporción  analizaste las distribuciones de probabilidad para las proporciones muestrales y determinaste que éstas tienen un valor esperado igual a la proporción poblacional p = E( y que su desviación estándar está dada por la fórmula

Puedes decir entonces que la estimación puntual está sujeta a un error, que depende de la dispersión de las proporciones muestrales y de la probabilidad de que éstas se den: Proporción poblacional = proporción muestral ± margen de error O con símbolos:

Recuerda que la distribución muestral para   se aproxima a la distribución normal cuando el tamaño de la muestra es grande, para lo cual debes verificar que se cumplan las dos condiciones siguientes: np≥5  y  nq≥5. Entonces el error máximo posible que se puede cometer, está determinado por la dispersión de los valores de las medias muestrales y por la “confianza” que se quiera tener en el estimador.

Esta confianza está definida como la proporción de muestras diferentes para las que el verdadero poblacional esté incluido en el intervalo, y en la fórmula corresponde al número de desviaciones estándar necesarias para garantizarla. Así, el estimador de intervalo para una proporción poblacional a partir de una muestra, queda determinado por la fórmula que se presenta a continuación:

Como no sería posible conocer y calcular al mismo tiempo el valor de p, estimamos este valor con el de , por lo que la ecuación que utilizarás para encontrar un intervalo de confianza para una proporción poblacional es la siguiente:

Ejemplo: Se va a realizar un referéndum para conocer la opinión de una población respecto a la aprobación de una ley sobre la privatización del servicio de recolección de basura en una ciudad. Existen opiniones encontradas respecto al servicio debido a que algunos ciudadanos están de acuerdo en pagar una cuota si el servicio se mejora y se recoge la basura en la puerta de cada casa, mientras que otros consideran que es obligación del ayuntamiento proporcionar este servicio, y que no debe cargarse el costo a la población puesto que ya está considerado en el pago del impuesto predial.

Con la finalidad de prever si es conveniente realizar una inversión en material que le permita obtener ventajas para concursar en la licitación de dicho servicio, una compañía realiza una encuesta de opinión a 120 familias, ya que se sabe que si en el referéndum la opinión mayoritaria no es favorable, el cabildo no autorizará la iniciativa. Los datos que se obtuvieron son los siguientes:   Número Porcentaje A favor 65 54.16% En contra 50 41.67% No contestaron 5 4.17%

El gerente de la compañía confía en los resultados de la encuesta pero sabe que éstos tienen un margen de error, por lo que antes de autorizar la compra del equipo decide analizar si la tendencia a favor de la ley es irrevocable. En este caso, la proporción muestral a favor de la iniciativa es de , por lo que un intervalo de confianza al 95%, estaría determinado por:

Determinación del tamaño de la muestra El estimador anterior te permite encontrar mediante un simple despeje algebraico, el tamaño de la muestra necesario para realizar una estimación de una proporción poblacional.

Debido a que se desconoce la proporción poblacional p, este valor se estima mediante alguna de las siguientes opciones: A partir de estudios anteriores de la misma población. Con una muestra piloto. Mediante una estimación subjetiva del valor de p. Si no se puede aplicar ninguna de las anteriores, entonces se usa p = 0.5

Por ejemplo, se quiere hacer una investigación sobre qué porcentaje de los médicos generales expiden recetas basados en las sustancias activas de las medicinas, en lugar de referir marcas comerciales de las mismas; también se desea saber cuál sería el número mínimo de médicos de los que debe constar una muestra aleatoria para obtener una estimación de la proporción que produzca un margen máximo de error de .10 respecto a la media verdadera, considerando un nivel de confianza del 95%. Como no se tienen datos anteriores y se desconoce por completo dicha proporción, usa p=.50 como valor de planeación para usar en la fórmula.

En este ejemplo: p=0.50, z=1.96; e=.10 Por lo que   Así obtienes, que se requiere consultar una muestra de al menos 97 médicos

EJERCICIOS Se sabe que el 25% de los televidentes de un programa de crítica de espectáculos son hombres. Si este porcentaje se basó en una muestra de 400 televidentes. ¿Cuál es el intervalo de confianza de 90% de la proporción poblacional de televidentes que son hombres? ¿Qué tamaño debe tener la muestra para un margen de error de máximo 3%? En una encuesta realizada por un portal de compras por Internet, participaron 122 personas contestando a la pregunta ¿confía usted en las compras que se realizan vía Internet? 67 contestaron que sí. ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción poblacional que confía en las compras por Internet? ¿Cuál es el margen de error con 95% de confianza? ¿Cuál es el intervalo de confianza al 90% para la proporción poblacional que confía en las compras por Internet?

En una encuesta que realizó la secretaría de turismo a 277 adultos, 162 manifestaron que no planearán vacaciones este año debido a la crisis económica. ¿Cuál es el intervalo de confianza al 99% para la proporción de adultos que no planearán vacaciones en este año debido a la crisis? ¿Cuál es el intervalo de confianza al 95% para la proporción de adultos que no planearán vacaciones en este año debido a la crisis? ¿Cuál es el intervalo de confianza al 90% para la proporción de adultos que no planearán vacaciones en este año debido a la crisis? ¿Qué conclusiones se pueden hacer de los incisos anteriores? Se quiere hacer una encuesta en los consumidores de un supermercado de cuanto gastan en productos de limpieza se quiere tomar una muestra que tenga un error de .15 porciento con respecto a la media con un intervalo de confianza de 90% ?de que tamaño debe de ser la muestra ?

Si seis de cada diez consumidores de gorditas de un puesto están conformes con el servicio encuentra el intervalo de confianza de 80% de los clientes conformes con el servicio? De cuanto tiene que ser la muestra para que tenga un margen de error de 20% . Y si en ves de tener un intervalo de 80% tuvieras 90% en que cambia Que conclusiones podemos generar con los datos anteriores con respecto a el tamaño de la muestra