Lógica Matemática Introducción a la segunda unidad Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Lógica Matemática Introducción a la segunda unidad Georffrey Acevedo G.

Contenido de la segunda unidad: Unidad 2: “ Algebra Booleana y Circuitos Lógicos” Capitulo 1 Axiomas del Álgebra Booleana Capitulo 2 Expresiones Booleanas Capitulo 3 Simplificación de Expresiones Booleanas Capitulo 4 Definición y representación de los circuitos lógicos Capitulo 5 Aplicación de los circuitos lógicos

BIENVENIDOS En esta oportunidad estudiaremos los conceptos de Algebra Booleana, Técnicas de simplificación y circuitos lógicos, para finalizar con un capítulo en el cual haremos varios interesantes diseños como estrategia de transferencia del conocimiento aprendido.

El Algebra Booleana I El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que nos permite dar rigor a las operaciones lógicas de conjunción, disyunción y negación vistas en el capítulo dos de la primera unidad, al igual que las operaciones de unión, intersección y complemento que vimos en el primer capítulo. George Boole, apasionado por la matemática y la filosofía, fue el inventor del álgebra que lleva su nombre, esta álgebra se dio a conocer al mundo, y para el deleite de los estudiantes de la UNAD, cuando Boole tenía 39 años, en 1854 en la publicación de la investigación "An Investigation of the Laws of Thought", en la cual, Boole desarrolla un sistema de reglas básicas para expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos por procedimientos matemáticos, un método que venía desarrollando desde 1947, cuando a la edad de 32 años, publica "The Mathematical Analysis of Logic" .

El Algebra Booleana II Es por esto, que afirmamos que Boole fue el primero en usar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional, una técnica que se aplica, de manera constante al ámbito del diseño electrónico. Ochenta y cuatro años más tarde, Claude Shannon, en 1938, sería el primero en aplicar el Álgebra Booleana, ya aplicada desde sus orígenes a la resolución de problemas lógicos y filosóficos, en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Referencias estilo APA: George Boole. (2008, 15) de abril. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 14:13, abril 17, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=George_Boole&oldid=16621666. Álgebra de Boole. (2008, 16) de abril. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 14:13, abril 17, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_de_Boole&oldid=16649338.

Aplicaciones del Algebra Booleana I Boole declara algunas proposiciones como entradas o variables de un sistema y las respuestas o salidas del mismo, de esta manera, un sistema podía ser descrito por un álgebra que el denominó Lógica Simbólica. Así, la lógica simbólica desarrollada por Boole, contiene un conjunto de reglas algebraicas que permiten su operación, razón por la cual la lógica Simbólica de Boole y sus reglas algebraicas se han denominado álgebra Booleana. En el Algebra Booleana, los estados Verdadero y Falso, pasan a ser representados por números binarios de un dígito o bits, de allí que el álgebra Booleana también se conozca como el álgebra del sistema binario, un álgebra en la cual también trabajamos con constantes, variables y operaciones de suma, resta y multiplicación, para conformar ecuaciones o expresiones booleanas. De esta manera, un elemento físico que represente dos estados como Abierto y cerrado de una puerta o el encendido y apagado de una bombilla o un nivel alto y un nivel bajo de agua en su señal de salida, o un modelo filosófico que arroje los estados verdadero y falso, puede ser modelado y simplificado mediante el Álgebra Booleana.

Aplicaciones del Algebra Booleana II En los sistemas digitales, la implementación de las funciones lógicas se realiza por medio de dispositivos que denominamos puertas o compuertas, los cuales son normalmente dispositivos electrónicos basados en transistores. Esta lógica Booleana, se fue transformando en lo que conocemos hoy como Lógica Digital, una lógica mediante la cual Shannon y John Von Neumann lograron desarrollar la estructura interna de los computadores que aún hoy está vigente. Es por esto que al algebra de Boole debemos hoy el advenimiento de los computadores digitales y sus aplicaciones van en aumento en muchos campos. El límite es la creatividad. Entre otras aplicaciones, hoy se hacen muchos desarrollos interesantes en el área de psicología, mediante aplicaciones denominadas pruebas psicométricas que utilizan todos los recursos del álgebra de Boole para su diseño. A continuación encontrarás un interesante ejemplo aplicado a las ciencias humanas:

Ejemplo de aplicación I A continuación, encontrarás un interesante ejemplo de aplicación a las ciencias humandas, en el cual los doctores Antonio M. BATTRO y Percival J. DENHAM recurren a los conceptos desarrollados en el Álgebra de Boole como base teórica de la investigación "Hacia una inteligencia digital", publicada por la Academia nacional de educación de Buenos Aires en el año 2007: Trataremos de ir de lo simple a lo complejo. Los instrumentos musicales de teclado, por ejemplo, son una buena muestra de programar acciones complejas con los dedos. Tienen la propiedad de generar un sonido cuando se presiona una tecla. Esta es la opción clic que usa el pianista. Con un solo dedo puede crear una melodía, con dos ya puede producir acordes, es decir crear sonidos simultáneos. Las combinaciones de sonidos aumentan en forma exponencial a medida que aumentamos el número de dedos sobre el teclado y el número de teclas. Por lo tanto hay un «espacio combinatorio» que va aumentando, de una tecla a muchas, los llamaremos espacios clic unarios, binarios, ternarios, n-arios.

Ejemplo de aplicación II EL ESPACIO CLIC UNARIO. Como dijimos anteriormente, la alternativa fundamental con un elemento (alternativa unaria) por sí o por no, por «A o no A» (en símbolos, A v ~A), genera un reticulado de Boole que es la base lógica de todo el proceso de selección basado en la opción clic. El reticulado elemental de Boole tiene 22, cuatro nodos. En nuestro ejemplo del piano, la opción clic elemental, es decir «tocar o no la tecla A», es el «supremo» del reticulado, que en el cálculo proposicional se expresa como la disyunción A v ~A, donde A signi.ca «tocar la tecla A» y ~A signi.ca «no tocar la tecla A». En cambio, el «ín.mo» es la conjunción A . ~A, que no tiene realización musical posible pues es contradictoria, sería optar por ambos opuestos conjuntamente. Se podría también interpretar como la meta-opción de «no tomar ninguna opción», ni por A ni por ~A, de recusar este juego de opciones: algo equivalente a cerrar el piano (o desconectar la computadora).

Ejemplo de aplicación III Como logramos apreciar, por medio de los conceptos desarrollados hasta ahora en el curso, logramos identificar varios conceptos y símbolos propios de la Lógica Matemática utilizados en esta interesante propuesta. Como lo expresamos en las página anterior, el límite es la creatividad, ya que la lógica matemática, constituye una herramienta que te ayudará en el camino de elaborar mejores razonamientos, y porque no, como en este ejemplo, servir de base para la construcción de mejores argumentos. Referencia: Battro, Antonio M. Battro Denham.(2007) Hacia una inteligencia digital Buenos Aires : Academia Nacional de Educación. pp 44-46. Tomado de la Worl wide web el 10 de Abril de2007 en http://www.byd.com.ar/InteligenciaDigital.pdf. />

Técnicas de simplificación I El Álgebra Booleana nos permite determinar si dos expresiones presentan o no la misma función, de esta manera, podemos elegir la función más simplificada, un conocimiento que en el momento de implementar físicamente una solución a un problema lógico, resulta crucial, ya que una una función lógica con menos variables permite reducir dinero y tiempo. Uno de los métodos especiales de simplificación son los llamados mapas de Karnaugh, un sistema fácil y rápido que permite simplificar expresiones siempre y cuando usemos pocas variables.

Técnicas de simplificación II Existen varios métodos para simplificar expresiones Booleanas: • Los métodos de simplificación automáticos, métodos que son implementados en un computador, por ejemplo el Quine-McCluskey • Otra técnica desarrollada en esta unidad es la de simplificar funciones mediante manipulaciones algebraicas, este sistema manual es un sistema lento y es difícil llegar a la representación mínima de una función lógica. • Los Métodos gráficos corresponden al método desarrollado por Veitch-Karnaugh, un método también manual, más fácil que el método algebraico pero aplicable a pocas variables. Los mapas de K, son una técnica para la simplificación de expresiones lógicas, inventada por Veitch, y perfeccionada en 1950 por el físico y matemático Maurice Karnaugh en los laboratorios Bell, es un método que aprovecha la capacidad del cerebro humano para trabajar con patrones en lugar de ecuaciones y otras formas de expresión analítica. También son conocidos como los mapas de K, K-Mapa o KV-Mapa.

Técnicas de simplificación III Básicamente consisten en una cuadrícula, en la cual se representan las tablas de verdad. De manera tal que una tabla de verdad de 16 filas, tendrá un correspondiente mapa de K con 16 cajones, cada uno de los cuales alberga un 0 o un 1, un valor que dependerá del valor que tome la función en cada fila. Es importante anotar que las tablas de Karnaugh son prácticas para simplificar funciones hasta de 6 variables. Referencias: Prats A. (2007). Introducción y conceptos generales de Electrónica Digital. http://64.233.169.104/search?q=cache:AKvMhgtMuDUJ:www.dinel.us.es/util/bajar.php%3Ffile%3DTE_1_rev.pdf%26x%3D46%26y%3D8%26r%3D0+Veitch+mapas+de+k&hl=es&ct=clnk&cd=2&gl=co Mapa de Karnaugh. (2008, 15) de abril. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 18:10, abril 17, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mapa_de_Karnaugh&oldid=16638673. />

¡BIENVENIDOS A LA SEGUNDA UNIDAD!