Seminario de Desarrollo Económico I Mtro. Celso Garrido Julio 2002 Introducción Matemáticas Financieras Ana María Hernández Méndez Alejandro Apolinar Rojas

Introducción FINANZAS Asignación de recursos Tiempo Al poner en práctica sus decisiones financieras, las personas se sirven del Sistema Financiero... Conjunto de mercados e instituciones mediante las cuales se realizan los contratos financieros y el intercambio de activos

Contenido de la sesión 1a sesión -Equivalencia financiera -Interés simple Valor presente simple Valor futuro simple -Base mixta -Cálculo del tiempo -Descuento bancario, comercial -Diagrama de tiempo valor y de flujo de caja -Interés compuesto -Diferencia entre interés simple e -Tasa de interés nominal, real y efectiva -Anualidades -Amortización

Equivalencia Financiera El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan a desarrollar el concepto de Equivalencia Financiera y esto significa que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes de tiempo son iguales en valor económico. Por ejemplo, si la tasa de interés es de 7% anual, $100 (tiempo presente) Serían equivalentes a $107 dentro de un año a partir de hoy, entonces para un individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 107 el día de mañana.Y este incremento se dio debido a la tasa de interés. Por lo tanto es el mismo valor económico o equivalente.

Interés Simple $100 $10 $10 $10 2 3 Tiempo 1 Interés que se carga al final del período y que no gana interés en el período o períodos subsiguientes El interés simple se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier interés causado en los períodos de interés anteriores Ejemplo un capital de 100 pesos al 10% en tres periodos 2 3 Tiempo 1 Total en los 3 periodos $30 $100 $10 $10 $10

Nomenclatura Española Denominación de Variables Nomenclatura Inglesa I = interés generado ($) P = es el capital o principal que se da o se recibe en préstamo i = tasa de interés anual (%) n = número de años o períodos, tiempo F = monto o valor futuro a fin del período Nomenclatura Española I=interés simple C=capital o principal i=tasa (tipo de interés tanto por ciento) t=tiempo M=monto

Factorizando la expresión anterior: F=P(1+in) (4) Los intereses: I=Pin (1) El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses F=P+I (2) Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: F=P+(Pin) F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior: F=P(1+in) (4) En estás fórmulas básicas del interés simple (1) y ( 3) se tienen cinco variables que son F, P, I, i y n de las cuales se puede obtener cualquiera de ellas a partir de las tres restantes, así de la fórmula de interés simple: I=Pin P=I/in i= I/Pn n=I/Pn De la fórmula de monto simple se obtiene F=p(1+in) P=F/ (1+in) i=[(F/P)-1]/n n=[(F/P)-1]/i

Capitalización y Actualización El planteamiento de los problemas económicos-financieros se desarrolla en torno a dos conceptos básicos: capitalización y actualización. El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales en fechas colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales

Factorizando la expresión anterior: Valor Presente Simple El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel capital que, a una tasa dada y en el período comprendido hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida: I=Pin (1) El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses F=P+I (2) Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: F=P+(Pin) F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior: F=P(1+in) (4) De la fórmula de monto simple despejamos P para obtener el valor presente simple F=P(1+in) P= F/ (1+in)

Ejemplo de Valor presente simple Un miroempresario desea innovar su equipo de trabajo y recurre a una institución crediticia, que le cobra el 16% de interés simple, ¿Qué cantidad le prestaron si tendrá que pagar $52,600 dentro de 5 meses? Tiempo 1 2 5 Meses 3 4 ¿Valor? $52,600

Valor Futuro Simple F=P+I = P+Pin=P(1+in) El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales en fechas colocados en fechas anteriores. I=Pin (1) El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses F=P+I (2) Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: F=P+(Pin) F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior: se obtiene la fórmula de monto simple F=P+I = P+Pin=P(1+in)

Ejemplo de Valor futuro simple Una institución crediticia otorga un préstamo de $ 49 312.50 pesos a una tasa de interés simple de 16% ¿Cuál será el monto de ese préstamo, después de 5 meses? $ 49 312.50 2 1 3 4 5 Meses Tiempo ¿Valor?

Base Mixta P=capital o suma prestada t=Tiempo I= interés o rédito Se tiene de acuerdo con las leyes de variación proporcional I=PnK (1) Donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente de las condiciones contractuales de préstamo. Si las condiciones son del i% anual (año comercial de 360 días). P= 100 unidades n=360 días ( año comercial ) I=i unidades( i%=i unidades por cada 100 en 360 días) Mediante la aplicación de la fórmula 1 se tiene: i= 100(360) k se despeja k=i/100(360)

Al reemplazar en la fórmula 1 se tiene: I= Pin/100(360) para el año de 365 días, el año real , el mimo desarrollo conduce a: I=Pin/ 100(365) y para años bisiestos, el año real es de 366 días. El interés simple ordinario o comercial es el que se calcula considerando el año de 360 días. El interés simple real o exacto es el que se calcula con año calendario de 365 días o de 366 , si se trata de año bisiesto. Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días ; pero par la duración de tiempo de préstamos a corto plazo (plazos menores que un año), cuentas los días efectivos calendario.

Ejemplo Base Mixta ¿Cuáles son los intereses que genera un capital de $ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de 30 días? Tiempo 1 2 30 días 3 4 $ 12,500 ¿Intereses + el principal?

Ejemplo Base Mixta ¿Cuáles son los intereses que genera un capital de $ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de 30 días? Capital o principal Intereses I=$205.73+ P= $12,500 $ 12,500 10 5 15 20 30 días Tiempo Este es monto total al final del periodo $12705.73

Descuento bancario o comercial Descuento Simple Descuento bancario o comercial Se define como el interés simple de una deuda, que se paga por adelantado. Para el banquero, “descuento” significa “interés simple”, pagado de antemano. Los bancos emplean esta clase de descuento porque reporta ventaja. Si F es una deuda contraída es decir valor nominal, n es el intervalo de tiempo fracción de un año para cubrirla y d, la tasa de interés, el descuento es: D=Fnd Por lo tanto el valor presente de una deuda es: P=F-Fnd= F(1-nd) se usa el descuento bancario simple para períodos menores a aun año ya que la aplicación de la fórmula p=f(1-nd) puede ser ruinosa para el deudor, cuando n es suficientemente grande Donde: Dc= descuento bancario F=valor nominal del descuento d=tasa nominal del descuento n=tiempo P= valor presente

Ejemplo de descuento comercial Si el banco realiza operaciones de descuento de 20% anual y si el señor Julio López desea descontar el documento el 5 de julio, los $11 500 (el valor nominal del pagaré) devengaran los siguientes intereses (descuento) durante los tres meses en que se adelanta el valor actual del documento. D=Fnd

Diagramas de Tiempo Valor Un diagrama, el tiempo puede medirse de dos maneras diferentes en sentido positivo (de izquierda a derecha), si se tiene fecha inicial y se cuenta con un valor futuro, en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene un fecha de vencimiento o final , y un valor antes del vencimiento Tiempo Valor presente 2 1 3 4 5 futuro P F Tiempo Valor presente 2 1 3 4 5 futuro P F

Diagrama de Flujo de Caja B + 7 1 2 3 4 6 Tiempo 5 - F D E A,B y C ingresos (+) D,E y F egresos (-) Al colocar en un diagrama de tiempo-valor flechas arriba para los ingresos y flechas hacia abajo para los egresos

que devenga interés en el período o períodos subsiguientes Interés Compuesto Los intereses generados en un período devengan un interés generado anteriormente. El interés compuesto es el interés devengado por el principal al final de un período y que devenga interés en el período o períodos subsiguientes

Comparación entre Interés simple e interés compuesto La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuesto es mediante la elaboración de gráficas correspondientes a una misma tasa Por ejemplo, la tasa del 20% y un capital de $ 1000. Los montos son F= 1000(1+n0.20) para interés simple y F= 1000(1+0.20)n para el interés compuesto Función discreta a= valor futuro de $ 1000 al interés del 20% b= Valor futuro de $1000 al interés compuesto del 20% función continua A línea recta F = 100[1+0.20] B función exponencial F= 1000(1.2)n El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráfica corresponde a la de una futura función exponencial. Por su parte , el monto a interés simple crece en progresión aritmética

Comparación entre Interés simple e Interés compuesto La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuesto es mediante al fórmula elaboración de gráficas correspondientes una misma tasa 1 5 2 años 3 1000 2000 A B a b 4

P= F(1/1+n)n = F(1+n)-n ó bien: P=F/(1+i)n I= (f/P)1/n-1 ó bien I= n Como se observa la suma acumulada al final del período n es: F=P(I+i)n Esta fórmula relaciona una cantidad (presente con una cantidad futuro (f) De esta fórmula se deduce: P= F(1/1+n)n = F(1+n)-n ó bien: P=F/(1+i)n I= (f/P)1/n-1 ó bien I= n n= log F - log P / log (1+i) (f/p) - 1

Período de Capitalización El interés puede ser convertido en capital anual, semestral trimestral, y mensual así como diario,dicho período es denominado período de capitalización. Al número de veces que el interés capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión. Por ejemplo, ¿cuál es el período de capitalización de un depósito bancario que paga el 5% de interés capitalizable trimestralmente? Un año = 12 meses/3 meses= 4 4 es el período de capitalización trimestral

Tasa de Interés Nominal, Efectiva (o real) y Equivalente Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación, ésta es denominada tasa de interés nominal. Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral , trimestral o mensual, la cantidad efectiva pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una tasa efectiva de interés. Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto, es decir si dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de capitalización es se dice que son equivalentes, si el rendimiento obtenido por capitalización es igual al final del año.

Partiendo de la fórmula F= P(1+in/n)n la tasa efectiva es el rendimiento anual “ie”, es el rendimiento anual que se obtendría al final del período cuando la tasa nominal “in” se capitaliza “n” veces. Para una inversión unitaria anual se tiene lo siguiente: 1(1+1e)=1(1+in/n)n-1 -->ie=(1+in/n)n-1 despejando in se tiene la tasa nominal por periodo: in=n[(1+ie)1/n-1

Cuando la tasa nominal se capitaliza por “m” años , se obtienen para un año se despeja: (1+in/n)m=[(1+in/n)n]m= F=P(+in/n)nm in=m[(1+ie)n/m-1

Ejemplo ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $ 1000.00 pactado al 48% de interés anual convertible mensualmente? F=1000(1+0.04)12 F=1000(1.601032) F=1601.0322 I=F-P I=1601.0322-1000 i=I/P i=601.0322/1000 i=0.6010 la tasa efectiva de interés ganada es de 60.10%

el resultado es el mismo que el anterior Usando la formula directamente se tiene: ie=(1+in/n)n-1 ie=(1+0.48/12)12-1 ie=(1.601032)-1 ie=.601032 ie=60.10% el resultado es el mismo que el anterior

in=m[(1+ie)1/m-1] in=12[(1+0.08/2)2/12-1] in=12(0.0065)=0.078696 Ejemplo de tasa nominal Hallar la tasa nominal im capitalizable mensualmente equivalente a la tasa del 8% capitalizable o convertible semestralmente. Sustituyendo en la fórmula: in=m[(1+ie)1/m-1] in=12[(1+0.08/2)2/12-1] in=12(0.0065)=0.078696 in=7.869%

Anualidades Una anualidad es una serie de pagos periódicos a intervalos de tiempo iguales y generalmente del mismo monto los conceptos básicos para las anualidades son: * La renta * La renta anual * La plazo de la anualidad * El intervalo de pago o período * La tasa de una anualidad Clasificación Ciertas Contingentes Anualidades a plazo fijo y rentas perpetuas Por fecha de pago: anualidades vencidas u ordinarias anualidades anticipadas Anualidades diferidas anualidades perpetuas

Tipos de anualidad Criterio Ciertas A) Tiempo Contigentes Simples Generales Vencidas Anticipadas Inmediatas diferidas A) Tiempo B) Intereses c)Pagos D) Inicio

Valor Presente de una anualidad A=P[i/(1+(1+i)-n] Despejando P=A[1-(1+i)-n/i

AMORTIZACIONES En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para denominar un proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes.En la amortización de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la duda.