2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología BC2A – BC2B Curso 2012-2013 Unidad 5: espacio afín

ÍNDICE Introducción Ecuaciones de la recta Ecuaciones del plano Posiciones relativas de rectas y planos (incidencia y paralelismo)

1. Introducción Espacio afín tridimensional y sistema de referencia cartesiano Coordenadas de un punto y de un vector Punto medio de un segmento Baricentro de un triángulo Índice

1.a. - Espacio afín tridimensional Llamamos E3 al conjunto de puntos del espacio ordinario Habíamos llamado V3 al conjunto de los vectores libres del espacio Se puede establecer una aplicación biyectiva (uno a uno) entre ambos conjuntos de la siguiente forma: Fijado un punto O que llamaremos origen, a cada punto P de E3 le asociamos el vector libre con representante , a este vector se le llama vector de posición del punto P Llamamos fO a esta aplicación que depende del punto O La terna (E3, V3, fO) es un ESPACIO AFÍN Puntos, vectores y la relación entre ambos

1.a. - Sistema de referencia cartesiano Un sistema de referencia del espacio afín está formado por un punto cualquiera del espacio y una base del espacio vectorial asociado al espacio afín Utilizaremos siempre la base canónica formada por vectores unitarios y ortogonales

1.b. – Coordenadas de un punto y de un vector Párrafo 1 Párrafo 2 Texto

1.c. – Punto medio de un segmento Párrafo 1 Párrafo 2 Texto

1.d. – Baricentro de un triángulo Es el punto donde se cortan las medianas de un triángulo Las medianas unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto Se suele denotar con la letra G y se demuestra que si: Entonces:

2. Ecuaciones de la recta Ecuación vectorial y paramétrica Ecuación continua Ecuación general Determinación normal de la recta Recta que pasa por dos puntos Puntos alineados Índice

2.a – Ecuación vectorial Párrafo 1 Párrafo 2 Texto

2.a – Ecuación vectorial - NOTACIÓN Recta definida por un punto y un vector Punto genérico de la recta Punto fijo de la recta Vector director de la recta Ecuación vectorial de la recta: En coordenadas:

2.a – Ecuaciones paramétricas Párrafo 1 Párrafo 2 Texto

2.b – Ecuación continua Realmente son dos ecuaciones simultáneas En esta ecuación se admiten denominadores iguales a cero

2.c – Ecuaciones general o implícitas Multiplicando en cruz en las ecuaciones anteriores… haciendo Tenemos que… Son las ecuaciones de dos planos que se cortan en la recta

2.d – Determinación normal de la recta Podemos determinar una recta con un punto por el que pasa y dos vectores perpendiculares a ella El producto vectorial de los dos vectores será el vector director de la recta

2.e – Recta que pasa por dos puntos Dados dos puntos A y B por los que pasa la recta, sabemos que: El vector director tendrá origen en A y extremo en B La recta pasa por cualquiera de los dos puntos dados Por ejemplo en forma continua…

2.f – Puntos alineados Dados tres o más puntos A, B, C, … decimos que están alineados o que son colineales si pertenecen a la misma recta. Es condición necesaria y suficiente que los vectores siguientes sean proporcionales D no está alineado (no es colineal) con A, B y C

3. Ecuaciones del plano Ecuación vectorial y paramétrica Ecuación general Ecuación normal Plano que pasa por tres puntos Ecuación segmentaria Plano que pasa por una recta y un punto Puntos coplanarios Índice

3.a – Ecuación vectorial Párrafo 1 Párrafo 2 Texto

3.a – Ecuación vectorial - NOTACIÓN Plano definido por un punto y dos vectores Punto genérico del plano Punto fijo del plano Vectores directores del plano Ecuación vectorial del plano En coordenadas:

3.a – Ecuaciones paramétricas

3.b – Ecuación general

3.b – Ecuación general - NOTACIÓN Plano definido por un punto y dos vectores Ecuación vectorial del plano Lo cual equivale a

3.b – Ecuación general - NOTACIÓN Desarrollando la expresión anterior Haciendo que… Obtenemos …

3.c – Ecuación normal Conocido un punto y un vector perpendicular al plano su ecuación se puede obtener considerando que…

3.d – Plano que pasa por tres puntos Dados tres puntos A, B y C por los que pasa el plano, sabemos que: Los vectores directores del plano tendrán origen en A y extremos en B y C El plano pasa por cualquiera de los puntos dados La ecuación del plano sería…

3.d – Plano que pasa por tres puntos El determinante anterior es igual a este otro desarrollado por la última columna Si sumamos la primera fila a las demás el determinante no varía y obtenemos… Reordenando las filas y columnas también se puede escribir…

3.e – Ecuación segmentaria Un plano que no pase por el origen de coordenadas y no paralelo a ninguno de los ejes los corta en tres puntos A, B, C como en la figura Se puede demostrar que su ecuación puede escribirse como… Los valores a, b y c se llaman abscisa, ordenada y cota respectivamente No todos los planos tienen este tipo de ecuación

3.e – Ecuación segmentaria - Demostración A partir de la ecuación de un plano que pasa por tres puntos hacemos… Desarrollando por la primera fila …

3.f – Plano que pasa por una recta y un punto Dada una recta de espacio y un punto no perteneciente a ella, existe un único plano que pasa por el punto y contiene a la recta El plano que pasa por P y contiene a r queda determinado por… En coordenadas sería… También se podría hallar otro punto de la recta y hacer la ecuación del plano que pasa por tres puntos: P, Q, y el nuevo

3.g– Puntos coplanarios Dados cuatro o más puntos A, B, C, D… decimos que son coplanarios si pertenecen al mismo plano Es condición necesaria y suficiente que entre los vectores siguientes únicamente haya 2 independientes P no es coplanario con A, B, C y D

4. Posiciones relativas Incidencia y paralelismo Posiciones de dos planos Posiciones de tres planos Haces de planos: paralelos y secantes Posiciones de recta y plano Posiciones de dos rectas Índice

4.a – Posiciones de dos planos

4.b – Posiciones de tres planos

4.b – Posiciones de tres planos

4.c – Haces de planos: paralelos y secantes

4.c – Posiciones de recta y plano

4.d – Posiciones de dos rectas

4.d – Posiciones de dos rectas OBSERVACIÓN: Si de las rectas conocemos un punto y su vector director podemos estudiar su posición relativa directamente, sin hallar las ecuaciones implícitas