PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO 3° PRODUCTOS NOTABLES Profr. Ricardo A. Castro Rico

EFECTUAR O SIMPLIFICAR CALCULOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS PRODUCTOS NOTABLES EFECTUAR O SIMPLIFICAR CALCULOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS ( x + a ) ( x – a ) BINOMIO AL CUADRADO ( x + a ) 2 PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA ( a x + c ) ( bx + d ) PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN ( x + a ) ( x + b ) APLICACION EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

Expresiones algebraicas PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS ( x + a ) (x – a) PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS

MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ( x + 3 ) ( x - 3 ) = x2 - 3x + 3x - 9 = x2 - 9 ¿ Qué nombre reciben las cantidades que se multiplican? ( x + 3 ) ( x - 3 ) FACTORES ¿ Qué nombre recibe el resultado de una multiplicación? PRODUCTO x2 - 9

PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS OBSERVA x2 - 9 = ( x + 3 ) ( x - 3 ) PRODUCTO FACTORES ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE ¿ QUE OBSERVAS ? ( x + 3 ) ( x - 3 ) SON LOS MISMOS TERMINOS UN SIGNO ES DIFERENTE PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS

OBSERVA ( x + 3 ) ( x - 3 ) = x2 - 9 x • x 3 • 3 - 9 DIFERENCIA PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS x • x 3 • 3 CUADRADOS PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS DIFERENCIA DE CUADRADOS

PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO OBSERVA - ( x + 3 ) ( x - 3 ) = x2 9 DIFERENCIA PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS x • x 3 • 3 CUADRADOS ¿ COMO SE FORMA LA DIFERENCIA DE CUADRADOS ? - x2 9 CUADRADO DEL PRIMER TERMINO CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO x • x 3 • 3 DIFERENCIA

- - PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS ( x + 9 ) ( x - 9 ) = x2 81 x • x CUADRADO DEL PRIMER TERMINO CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO x • x 9 • 9 DIFERENCIA - CUADRADO DEL PRIMER TERMINO CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO

- - ( x + 8 ) ( x - 8 ) = x2 64 x • x 8 • 8 ( 5x + 2 ) ( 5x - 2 ) = CUADRADO DEL PRIMER TERMINO CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO x • x 8 • 8 - ( 5x + 2 ) ( 5x - 2 ) = 25x2 4 CUADRADO DEL PRIMER TERMINO CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO 5x • 5x 2 • 2 Profr. Ricardo A. Castro Rico

- - ( 3x – 8y ) ( 3x + 8y ) = 9x2 64y2 3x • 3x 8y • 8y CUADRADO DEL PRIMER TERMINO CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO 3x • 3x 8y • 8y - ( 7x - 2z ) ( 7x + 2z ) = 49x2 4z2 CUADRADO DEL PRIMER TERMINO CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO 7x • 7x 2z • 2z

PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO - ( 4x – 3y ) ( 4x + 3y ) = 16x2 9y2 CUADRADO DEL PRIMER TERMINO CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO 4x • 4x 3y • 3y EN LOS EJERCICIOS QUE RESOLVISTE ANTERIORMENTE ¿CUAL DE LOS CUADRADOS TIENE SIGNO NEGATIVO? TERMINO QUE TIENE LOS SIGNOS DIFERENTES - ( -4x + 3y ) ( 4x + 3y ) = 9y2 16x2 CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS IGUALES CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS DIFERENTES 3y • 3y 4x • 4x

- - ( 7x2 – 3y3 ) ( - 7x2 - 3y3 ) = 9y6 49x4 3y3 • 3y3 7x2 • 7x2 CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS IGUALES CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS DIFERENTES 3y3 • 3y3 7x2 • 7x2 - ( - 8x – 5y ) ( - 8x + 5y ) = 64x2 25y2 CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS IGUALES CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS DIFERENTES 8x • 8x 5y • 5y

PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x2 - y3 ) ( x2 + y3 ) x4 - y6 ( 9x + 4y4 ) ( 9x – 4y4 ) 81x2 - 16y8 ( b5 - 4h2 ) ( b5 + 4h2 ) b10 - 16h4 ( xa + yb ) ( xa - yb ) x2a - y2b ( 5 – 4x ) ( - 5 – 4x ) 16x2 - 25 ( - m – n ) ( - m + n ) m2 - n2 ( 9x-2 + 7 ) ( 9x-2 - 7 ) 81x-4 - 49

PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x6 - y ) ( x6 + y ) x12 - y2 ( 9xa + 4yb ) ( 9xa – 4yb ) 81x2a - 16y2b ( - b7 + 6h-2 ) ( b7 + 6h-2 ) 36h-4 - b14 ( x2m + y5n ) ( x2m - y5n ) x4m - y10n ( 1 – 8x ) ( - 1 – 8x ) 64x2 - 1 ( - m-2 – n ) ( - m-2 + n ) m-4 - n2 ( x-2 + 3 ) ( x-2 - 3 ) x-4 - 9 MENU

Expresiones algebraicas PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN ( x + a ) (x + b) PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN

PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 6x + 18 = x2 + 9x + 18 ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE ¿ QUE OBSERVAS ? ( x + 6 ) ( x + 3 ) x SE REPITE EN CADA UNO DE LOS BINOMIOS RECIBEN EL NOMBRE DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN

Trinomio cuadrado es un producto de binomios con término común OBSERVA Término al cuadrado ( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 6x + 18 = x2 + 9x + 18 Tres término Trinomio cuadrado Producto binomios con término común Producto de dos binomios con término común es un trinomio cuadrado ( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 9x + 18 Trinomio cuadrado es un producto de binomios con término común x2 + 9x + 18 = ( x + 6 ) ( x + 3 )

OBSERVA ( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 6x + 18 = x2 + 9x + 18 TERMINO COMUN x ( 3 + 6 ) ( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 6x + 18 = x2 + 9x + 18 TERMINOS NO COMUNES ¿ QUE HICE PARA ENCONTRAR x2 ? TERMINO COMUN AL CUADRADO x • x ¿ COMO ENCONTRE + 9x ? MULTIPLIQUE LA SUMA ALGEBRAICA DE LOS TERMINOS NO COMUNES POR EL TERMINO COMUN x ( 3 + 6 ) ¿ QUE HICE PARA ENCONTRAR + 18 ? MULTIPLIQUE LOS TERMINOS NO COMUNES 6 • 3

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN x2 + 14x + 45 TRINOMIO CUADRADO TERMINOS NO COMUNES TRINOMIO CUADRADO CUADRADO DEL TERMINO COMUN ( x ) ( x ) SUMA ALGEBRAICA NO COMUNES MULTIPLICADA POR EL TERMINO COMUN x ( 9 + 5 ) PRODUCTO DE TERMINOS NO COMUNES ( 9 ) ( 5 )

25x2 - 35x - 18 TRINOMIO CUADRADO TERMINO COMUN ( 5x - 9 ) ( 5x + 2 ) = 25x2 - 35x - 18 TERMINOS NO COMUNES TRINOMIO CUADRADO CUADRADO DEL TERMINO COMUN ( 5x ) ( 5x ) SUMA ALGEBRAICA NO COMUNES MULTIPLICADA POR EL TERMINO COMUN 5x ( - 9 + 2 ) PRODUCTO DE TERMINOS NO COMUNES ( - 9 ) ( + 2 )

( 3x - 8 ) ( 3x - 1 ) = 9x2 - 27x + 8 ( 4x + 8 ) ( 4x - 5 ) = 16x2 TERMINO COMUN ( 3x - 8 ) ( 3x - 1 ) = 9x2 - 27x + 8 TERMINOS NO COMUNES 3x ( - 8 - 1 ) ( - 8 ) ( - 1 ) TERMINO COMUN ( 4x + 8 ) ( 4x - 5 ) = 16x2 + 12x - 40 TERMINOS NO COMUNES 4x ( + 8 - 5 ) ( + 8 ) ( - 5 )

Profr. Ricardo A. Castro Rico TERMINO COMUN ( 6x - 3 ) ( 6x + 1 ) = 36x2 - 12x - 3 TERMINOS NO COMUNES 6x ( - 3 + 1 ) ( - 3 ) ( + 1 ) TERMINO COMUN ( 9x + 2 ) ( 9x - 7 ) = 81x2 - 45x - 14 TERMINOS NO COMUNES 9x ( + 2 - 7 ) ( + 2 ) ( - 7 ) Profr. Ricardo A. Castro Rico

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x – 11 ) ( x + 3 ) x2 - 8x - 33 ( 4x + 11 ) ( 4x – 2 ) 16x2 + 36x - 22 ( x – 10 ) ( x – 3 ) x2 - 13x + 30 ( 2x + 5 ) ( 2x – 9 ) 4x2 - 8x - 45 ( 11x – 1 ) ( 11x + 7 ) 121x2 + 66x - 7 ( x – 12 ) ( x + 14 ) x2 + 2x - 168 ( 7x – 5 ) ( 7x + 8 ) 49x2 + 21x - 40

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x – 10 ) ( x + 2 ) x2 - 8x - 20 ( 4x + 10 ) ( 4x – 8 ) 16x2 + 8x - 80 ( x + 15 ) ( x – 3 ) x2 + 12x - 45 ( 3x + 6 ) ( 3x – 7 ) 9x2 - 3x - 42 ( 10x – 4 ) ( 10x + 6 ) 100x2 + 20x - 24 ( x – 2 ) ( x + 13 ) x2 + 11x - 26 ( 6x – 9 ) ( 6x + 1 ) 36x2 - 48x - 9

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x – 1 ) ( x + 6 ) x2 + 5x - 6 ( 5x + 10 ) ( 5x – 4 ) 25x2 + 30x - 40 ( 11x + 1 ) ( 11x – 3 ) 121x2 - 22x - 3 ( 6x + 2 ) ( 6x – 11 ) 36x2 - 54x - 22 ( 10x – 1 ) ( 10x + 6 ) 100x2 + 50x - 6 ( x – 3 ) ( x + 12 ) x2 + 9x - 36 ( 3x – 8 ) ( 3x + 1 ) 9x2 - 21x - 8 MENU

Expresiones algebraicas ( x + a ) 2 BINOMIO AL CUADRADO

( x + 8 )2 MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ( x + 8 ) ( x + 8 ) = + 64 = x2 + 16x + 64 ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE ¿ QUE OBSERVAS ? ( x + 8 ) ( x + 8 ) LOS BINOMIOS SON IGUALES ¿ DE QUE OTRA MANERA SE PUEDE REPRESENTAR ( x + 8 )2

( x + 8 ) ( x + 8 ) = x2 + 8x + 8x + 64 = x2 + 16x + 64 ( x + 8 )2 = 8 • 8 Doble producto Primero por segundo Cuadrado del primer término Cuadrado del segundo término BINOMIO AL CUADRO ES IGUAL A UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO FORMADO POR DOS CUADRADO Y UN DOBLE PRODUCTO Profr. Ricardo A. Castro Rico

PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ES IGUAL A UN BINOMIO AL CUADRADO ( x + 8 )2 x2 + 16x + 64 = CARACTERISTICAS DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO x2 + 16x + 64 2 ( x ) ( 8 ) x • x 8 • 8 Doble producto Primero por segundo Cuadrado del primer término Cuadrado del segundo término

BINOMIO AL CUADRADO ( x + 8 ) 2 = x2 + 16x + 64 ( x - 9 ) 2 = x2 - 18x Doble producto ( x + 8 ) 2 = x2 + 16x + 64 1° Cuadrado 2° Cuadrado Doble producto ( x - 9 ) 2 = x2 - 18x + 81 1° Cuadrado 2° Cuadrado

( 2x + 3y ) 2 = 4x2 + 12xy + 9y2 ( 4x - 5y ) 2 = 16x2 - 40xy + 25y2 Doble producto ( 2x + 3y ) 2 = 4x2 + 12xy + 9y2 1° Cuadrado 2° Cuadrado Doble producto ( 4x - 5y ) 2 = 16x2 - 40xy + 25y2 1° Cuadrado 2° Cuadrado

( 7x3 + 2y2 ) 2 = 49x6 + 28x3y2 + 4y4 ( 8x5 - 5x2 ) 2 = 64x10 - 80x7 Doble producto ( 7x3 + 2y2 ) 2 = 49x6 + 28x3y2 + 4y4 1° Cuadrado 2° Cuadrado Doble producto ( 8x5 - 5x2 ) 2 = 64x10 - 80x7 + 25x4 1° Cuadrado 2° Cuadrado

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. BINOMIO AL CUADRADO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x 2 + 7 )2 x4 + 14x2 + 49 ( 2x – 5y )2 4x2 - 20xy + 25y2 ( 4x3 – 7y2 )2 16x6 - 56x3y2 + 49y4 ( a – b )2 a2 - 2ab + b2 ( y – 12 )2 y2 - 24y + 144 ( 12 – 3b )2 144 - 72b + 9b2 ( x + y )2 x2 + 2xy + y2

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. BINOMIO AL CUADRADO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( x 2 + 7y )2 x4 + 14x2y + 49y2 ( 7x – 2y )2 49x2 - 28xy + 4y2 ( 9x3 – 7y5 )2 81x6 - 126x3y5 + 49y10 ( 11a – b )2 121a2 - 22ab + b2 ( 8y – 12z )2 64y2 - 192yz + 144z2 ( 2ab – 3ba )2 4a2b - 12abba + 9b2a ( 5x - 6y )2 25x2 - 60xy + 36y2 MENU

Expresiones algebraicas PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA ( ax + c ) (bx + d) PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA

MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ( 5x + 8 ) ( 2x + 1 ) = 10x2 + 5x + 16x + 8 = 10x2 + 21x + 8 ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE ¿ QUE OBSERVAS ? ( 5x + 8 ) ( 2x + 1 ) NO TIENEN TERMINOS COMUNES ES UN PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA

Producto de binomios cualesquiera ( 5x + 8 ) ( 2x + 1 ) = 10x2 + 5x + 16x + 8 = 10x2 + 21x + 8 Trinomio cuadrado Producto de binomios cualesquiera OBSERVA ( 5x + 8 ) ( 2x + 1 ) = 10x2 + 21x + 8 + 5x + 16x

PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA ( 3x - 1 ) ( 4x + 7 ) = 12x2 + 17x - 7 + 21x - 4x ( 2x + 9 ) ( 6x - 2 ) = 12x2 + 50x - 18 - 4x + 54x Profr. Ricardo A. Castro Rico

BINOMIOS CON TERMINO COMUN PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS ( 7x - 1 ) ( 7x + 1 ) = 49x2 - 1 + 7x - 7x PRODUCTO BINOMIOS CON TERMINO COMUN APLICABLE A CUALQUIER PRODUCTO DE BINOMIOS ( 2x + 6 ) ( 2x - 3 ) = 4x2 + 6x - 18 - 6x + 12x

PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( 4x – 7 ) ( 2x + 3 ) 8x2 - 2x - 21 ( 5x + 2 ) ( 5x – 2 ) 25x2 - 4 ( 6x – 5 ) ( 6x – 3 ) 36x2 - 48x + 15 ( 3x + 1 ) ( x + 8 ) 3x2 + 25x + 8 ( 2y – 5 ) ( 7y + 3 ) 14y2 - 29y - 15 ( 8x + 2 ) ( 3x – 5 ) 24x2 - 34x - 10 ( 2x – 1 ) ( 9x + 5 ) 18x2 + x - 5

PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse ( 5x – 1 ) ( 2x + 4 ) 10x2 + 18x - 4 ( x + 9 ) ( 5x + 3 ) 5x2 + 48x + 27 ( 6x + 1 ) ( 7x – 5 ) 42x2 - 23x - 5 ( 3x + 5 ) ( x - 8 ) 3x2 - 19x - 40 ( 2y + 7 ) ( 7y + 1 ) 14y2 + 51y + 7 ( 8x + 4 ) ( 3x – 5 ) 24x2 - 28x - 20 ( 2x – 1 ) ( 2x + 1 ) 4x2 - 1 MENU

Aplicacion en la resolucion de problemas Productos Notables Aplicacion en la resolucion de problemas

PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO resolucion de problemas Aplicación de los productos notables EJEMPLO 1 55 x 45 = 2475 Se representa como un producto de binomios Descomponemos en dos números, de uno de ellos conocemos su cuadrado ( 50 + 5 ) ( 50 - 5 ) = Resolvemos por inspección ( 50 + 5 ) ( 50 - 5 ) = 2500 - 25 = 2475

Se representa como un producto de binomios Resolvemos por inspección EJEMPLO 2 23 x 25 = 575 Se representa como un producto de binomios ( 20 + 3 ) ( 20 + 5 ) = Resolvemos por inspección ( 20 + 3 ) ( 20 + 5 ) = 400 + 160 + 15 = 575 Profr. Ricardo A. Castro Rico

Se representa como un producto de binomios Resolvemos por inspección EJEMPLO 3 232 = 529 Se representa como un producto de binomios ( 20 + 3 )2 = Resolvemos por inspección ( 20 + 3 )2 = 400 + 120 + 9 = 529

EJEMPLO 4 El área de un rectángulo equivale a 30 m2, sabemos que su base es un metro mayor que la altura, ¿ qué ecuación cuadrática nos permite encontrar sus dimensiones? Base por altura = área AREA = 30 m2 base altura x x + 1 x2 + x – 30 = 0

¿ Qué expresión ha sido cubierta por la camisa ? EJEMPLO 5 Observa la siguiente expresión algebraica escrita en una hoja de papel: ( x + 5 ) = x2 + 8x + 15 ¿ Qué expresión ha sido cubierta por la camisa ? x + 3

Profr. Ricardo A. Castro Rico PROBLEMA 6 Observa la siguiente figura: Si queremos encontrar el valor de x en la figura, ¿cuál de las siguientes ecuaciones debemos resolver ? A. 4x2 + 12x – 10 = 0 B. 4x2 + 12x + 5 = 0 Area = 5 2x + 5 2x + 1 C. 4x2 + 12x + 10 = 0 D. 4x2 + 12x = 0 4x2 + 12x = 0 Profr. Ricardo A. Castro Rico

PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO En la ilustración se muestra la maqueta del departamento de Armando. Escribe la expresión que representa un lado del departamento: x + y x y ¿ Qué expresión representa el área? SALA x2 COCINA xy BAÑO y2 xy RECAMARA DEPARTAMENTO Tiene la forma de un cuadrado. x2 + 2xy + y2

PROFR. RICARDO A. CASTRO RICO Aplicación de los productos notables EJEMPLO 8 32 x 28 = 896 Se representa como un producto de binomios Descomponemos en dos números, de uno de ellos conocemos su cuadrado ( 30 + 2 ) ( 30 - 2 ) = Resolvemos por inspección ( 30 + 2 ) ( 30 - 2 ) = 900 - 4 = 896 MENU