LA ELIPSE

La primera ley de Kepler está relacionada con la forma de las órbitas de los planetas: Los planetas siguen órbitas elípticas en torno al Sol, que se encuentra en uno de los focos de la elipse descrita.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante

Una elipse es como una circunferencia aplastada con dos focos Una elipse es como una circunferencia aplastada con dos focos. La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a cada foco es constante Eje mayor = 2a Eje menor = 2b La distancia OF es la semidistancia focal c. d(F,F')=2c<2a

Propiedades notables

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos F1 y F2 que se llaman «focos». El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse». La longitud desde F1 al punto Q sumada a la longitud desde F2 a ese mismo punto Q , es una cantidad constante que siempre será igual a la longitud del «eje mayor» trazo AB.

A las rectas correspondientes a los trazos QF1 y QF2 , se las llama «radios vectores». Los dos «focos» equidistan del centro O. El área de la elipse es:

Del triángulo rectángulo se cumple: a2=b2+c2

Excentricidad A la cantidad c/a se llama excentricidad de la elipse e. Se cumple: 0<e<1. El grado de aplastamiento de una elipse se mide con la excentricidad, que varía entre 0 y 1, cuanto mayor sea la excentricidad más separados estarán los focos y más alargada será la elipse. Por el contrario, si la excentricidad vale 0, los focos están juntos en el centro de la elipse y ésta se convierte en una circunferencia.

Elipse de eje focal horizontal Los elementos que vamos a encontrar en una elipse de eje focal horizontal son:  los vértices: A (a,0) , A' (-a,0), B (0,b) y B' (0,-b) los focos: F (c,0) y F' (-c,0) eje focal: distancia entre los vértices AA' = 2a  eje no focal:  distancia entre los vértices BB' = 2b

distancia focal 2c: distancia entre el foco F y F' dPF = distancia entre un punto de la elipse y el foco F Dpf´ = distancia entre un punto de la elipse y el foco F'

Elipse de eje focal horizontal Con centro en el origen Con centro en (p, q)

Elipse de eje focal vertical Elipse de eje focal vertical: a < b ===> b² = a² + c² Los elementos que vamos a encontrar en una elipse de eje focal vertical son:  los vértices: A (a,0) , A' (-a,0), B (0,b) y B' (0,-b) los focos: F (0,c) y F' (0,-c) eje no focal: distancia entre los vértices AA' = 2a 

eje focal:  distancia entre los vértices BB' = 2b distancia focal 2c: distancia entre el foco F y F' radio vectores: dPF y dPF' dPF = distancia entre un punto de la elipse y el foco F dPF = distancia entre un punto de la elipse y el foco F' Se cumplen las siguientes propiedades: Para cualquier punto de la elipse: dPF + dPF´ = 2b

Elipse de eje focal vertical Con centro en el origen Con centro en (Xo, Yo)