RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3 Un determinante de una matriz cuadrada es un número real que se obtiene operando de forma determinada los elementos de dicha matriz

Aplicaciones de los determinantes: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Cálculo del rango de una matriz Cálculo de la inversa de una matriz

DETERMINANTES DE ORDEN 2:

DETERMINANTES DE ORDEN 3:

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, el determinante es cero.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 3. Si se permutan dos filas o columnas de una matriz cuadrada, el determinante cambia de signo:

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 4. Si en una matriz cuadrada , hay dos filas o columnas iguales, su determinante vale cero.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada, el determinante queda multiplicado por ese número:

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante vale cero

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 7.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 8. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada, le sumamos una combinación lineal de otras filas o columnas paralelas, su determinante no varía

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 9.Si una matriz cuadrada tiene una fila (columna) que es combinación linela de otras paralelas, su determinante vale cero

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 10.

EJERCICIO 2 , PÁGINA 79

EJERCICIO 2 , PÁGINA 79

EJERCICIO 2 , PÁGINA 79

Fotos : Gabriel de Castro Manzano DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES. ELEGIMOS CUALQUIER FILA O COLUMNA, GENERALMENTE LA QUE TIENE MÁS CEROS O NÚMEROS MÁS SENCILLOS Y DESPUÉS EL CÁLCULO ES COMO SE MUESTRA:

“DESARROLLO POR ADJUNTOS DE UNA LÍNEA” DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES. “DESARROLLO POR ADJUNTOS DE UNA LÍNEA” EJEMPLO :

¡Si no hay ceros , los haremos utilizando la propiedad nº 8! DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES. Cuantos más ceros tenga la línea elegida, más fácil será el cálculo ¡Si no hay ceros , los haremos utilizando la propiedad nº 8!

MÁXIMO ORDEN DE SUS MENORES NO NULOS RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ : NÚMERO DE FILAS(COLUMNAS)LINEALMENTE INDEPENDIENTES RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES MÁXIMO ORDEN DE SUS MENORES NO NULOS Nº DE FILAS LINEALMENTE INDEPENDIENTES

EJEMPLO: CALCULAR EL RANGO DE 1º Miro si la F1 y la F2 son linealmente independientes : Busco un menor de orden dos no nulo F1 y F2 son l.i 2º Miro si la F3 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo(utilizando las 3 filas : F1, F2 y F3) F3 depende linealmente de F1 y F2 3º Miro si la F4 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo (utilizando las 3 filas : F1, F2 y F4) F4 depende linealmente de F1 y F2

La matriz A tiene solo dos filas linealmente independientes por tanto: Ran (A)=2

EJEMPLO: CALCULAR EL RANGO DE 1º Miro si la F1 y la F2 son linealmente independientes : Busco un menor de orden dos no nulo F1 y F2 son l.i 2º Miro si la F3 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo(utilizando las 3 filas : F1, F2 y F3) F3 depende linealmente de F1 y F2. 3º Miro si la F4 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo (utilizando las 3 filas : F1, F2 y F4) F4 no depende linealmente de F1 y F2

El sistema será compatible si y solo si TEOREMA DE ROUCHE El sistema será compatible si y solo si Si el rango es menor que el nº de incógnitas : Infinitas soluciones ; Sistema Compatible Indeterminado Si el rango es igual que el nº de incógnitas : Solución única ; Sistema Compatible determinado

DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES ¿Para qué valores del parámetro “ a” este sistema tiene o no tiene solución?

TEOREMA DE ROUCHE El sistema será compatible si y solo si

Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes

¡Empezamos la discusión! Si a=1, SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO, INFINITAS SOLUCIONES.

Si a = -2,

Si a = -2, SISTEMA INCOMPATIBLE , SIN SOLUCIÓN

Sistema compatible determinado, solución única Sistema compatible determinado, solución única. Lo resolvemos por CRAMER

DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES ¿Para qué valores del parámetro “ a” este sistema tiene o no tiene solución?

TEOREMA DE ROUCHE El sistema será compatible si y solo si

Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes

¡Empezamos la discusión! Si m=5, ¿Ran(A’)?

¿Ran(A’)? Ran(A’)=2 Si m =5, Ran(A)=2, Ran(A’)=2 Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones

Si m ≠5, Ran(A)=3, Ran(A’)=3 Sistema compatible determinado, solución única En este caso, si nos piden resolverlo, lo haríamos por Cramer dejándolo en función de m

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

EJEMPLO: