GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIO RECTAS Y PLANOS TEMAS 5, 6 y 7 Recta: pág 112-113, pág 141, pág 168 Plano: pág 114-115

Elementos geométricos Dimensión y grados de libertad Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies. Pueden determinarse mediante ecuaciones paramétricas e implícitas, entre otras: Paramétricas. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros o grados de libertad. Implícitas. El número de ecuaciones implícitas de un objeto es la dimensión del espacio menos la del objeto. Rectas y curvas (dimensión 1) Dimensión Planos y superficies (dimensión 2)

Ecuación de la recta Es la expresión analítica que nos permite conocer qué puntos del espacio pertenecen a ella; esto es, los puntos del espacio que satisfacen su ecuación Está determinada por: Un punto de la recta y su dirección (vector director) Dos puntos de la recta Dos planos que se cortan

Una recta queda determinada por un punto A y un vector que lleva su misma dirección (a,b,c)

Una recta también está determinada por dos puntos A y B

Ecuaciones de la recta Vectorial: Paramétricas: igualando las coordenedas. (Observa que tiene un grado de libertad) Continua: despejando el parámetro t e igualando Implícita o general: cogiendo las igualdades Ax + By + D = 0 de dos en dos, y operando hasta igualarlas a 0. A’x+C’z+D’ = 0 Basta con tomar dos igualdades. El resultado es la intersección de dos planos. (Observa que consta de dos ecuaciones implícitas). En este caso, la recta está determinada por dos planos que se cortan.

Ejemplos: Recta que pasa por un punto y lleva una dirección: pág 113:1 Recta que pasa por dos puntos: pág 113:2 Recta que pasa por un punto y es paralela a otra: pág 126: 10

Desde la forma paramétrica o continua a las anteriores es inmediato PASAR DE UNA FORMA A OTRA Desde la forma vectorial a la general ya está explicado en la diapositiva anterior Desde la forma paramétrica o continua a las anteriores es inmediato Desde la forma general a cualquiera de las anteriores: aunque hay varias formas, una de las más sencillas (por ser un tema tratado en la parte de Álgebra) es convertir la intersección de dos planos en la recta que generan en forma paramétrica; para ello se llama t a una de las variables y se despejan las otras en función de t. Es importante saber obtener puntos y vectores de una recta

Ejemplos: - Obtener puntos y vectores de una recta en cualquiera de sus formas - Transformar una ecuación en otra: pág 113:3

Una recta también está determinada por dos planos que se cortan Ejemplos: 1- Dos planos que se cortan determinan una recta: ya visto en las ecuaciones de las rectas 2- Pág 152: 31 (cambiando punto por (3/2,0,0) enlace 3- Recta perpendicular común a otras dos que se cruzan: pág 169: 12 4- Recta que pasa por un punto y se apoya en dos que se cruzan: pág 141: 12 5- Recta que es paralela a otra y se apoya en dos que se cruzan: pág 152: 30 Los cuatro últimos aún no los podemos hacer (necesitamos saber como se determina un plano).

2- Recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan Si dos rectas r y s se cruzan, hay una recta que es simultáneamente perpendicular a ambas. enlace Para calcular dicha recta procedemos así: Sabemos que el vector resultante del producto vectorial de los vectores directores de r y s es perpendicular a ambas. Hallamos un plano que contenga a una de las rectas y al vector anterior Hallamos otro plano que contenga a la otra recta y al vector anterior La recta donde se cortan estos planos corta perpendicularmente a r y s

3- Recta que se apoya en dos y pasa por un punto dado Tenemos dos rectas r1 y r2 y queremos calcular otra que pasa por un punto P y toca a las otras dos. Enlace Procedemos así: Calculamos el plano π1 que contiene a r1 y al punto P. Calculamos el plano π2 que contiene a r2 y al punto P. La recta s que sale de cortar ambos planos es la solución buscada.

4- Recta que se apoya en dos y es paralela a una tercera Tenemos dos rectas r1 y r2 y queremos calcular otra que es paralela a una tercera recta s y toca a las otras dos. El procedimiento es exactamente igual que el anterior, cambiando la condición de que contiene al punto P a que los planos han de contener al vector director de la tercera recta. Procedemos así: Calculamos el plano π1 que contiene a r1 y es paralelo a la recta s. Calculamos el plano π2 que contiene a r2 y es paralelo a la recta s. La recta que sale de cortar ambos planos es la solución buscada

PUNTOS ALINEADOS Dos puntos A y B siempre están alineados; es decir, por dos puntos pasa una recta Para que tres puntos A, B y C estén alineados tienen que estar en la misma recta. Para comprobarlo, basta con hallar la ecuación de la recta que pasa por dos de ellos y comprobar si el tercer punto pertenece a la misma (basta con ver si satisface su ecuación)

Ejemplos: Determina si los puntos A(0,0,0), B(-1,2,0), C(2,1,0) están alineados

INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS La forma de proceder para calcular el punto donde se cortan dos rectas dependerá de las ecuaciones de las mismas. Los casos más frecuentes: Una recta en paramétricas y la otra en continua o general: se sustituye la 1ª en la segunda y se calcula el valor del parámetro para el cual son ciertas las ecuaciones. Si no existe un valor de t, las rectas no se cortan. Las dos en forma general: se resuelve el sistema de cuatro ecuaciones lineales con tres incógnitas (álgebra)

Ejemplo:  

Ejemplo:  

ECUACIONES DE LOS EJES DE COORDENADAS

Ejercicios: Pág 126: 6, 7, 8, 9

Ecuación del plano Es la expresión analítica que nos permite conocer qué puntos del espacio pertenecen a él; esto es, los puntos del espacio que satisfacen su ecuación. Un plano queda determinado por: Un punto y dos vectores no paralelos Tres puntos no alineados Un punto y un vector perpendicular al plano

Un plano queda determinada por un punto A y dos vectores independientes y (llevan distinta dirección)

Un plano también está determinada por tres puntos A, B y C no alineados

Ecuaciones del plano Vectorial: Paramétricas: igualando las coordenadas. (Observa que tiene dos grados de libertad) Implícita o general: es decir: desarrollando e igualando a 0, se tiene: AX + By + Cz + D = 0 (Observa que consta de una ecuación implícita).

En particular, si los puntos que conocemos son los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas, se puede escribir otra ecuación del plano llamada SEGMENTARIA

Ejemplos: - Plano determinado por un punto y dos vectores: pág 115: 4 - Plano que pasa por tres puntos: pág 115: 5 - Plano que contiene dos puntos y tiene por vector director: pág 115: 6 - Plano que pasa por un punto y contiene recta: pág 127: 14 - Plano que contiene dos rectas: pág 127: 15b - Plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos (2,0,0), (0,-3,0) y (0,0,5)

PASAR DE UNA FORMA A OTRA Desde la forma vectorial a la general ya está explicado Desde la forma paramétrica a la anterior es inmediato Desde la forma general a las paramétricas: basta con llamar a una de las incógnitas t, a otra s, y poner la tercera en función de éstas. Es importante saber obtener puntos y vectores de un plano

Ejemplos: - Transformar una ecuación en otra: pág 126: 12, 13 - Obtener puntos y vectores de un plano en cualquiera de sus formas: pág 115: 7 - Transformar una ecuación en otra: pág 126: 12, 13

Un punto M del plano y un vector n normal al plano también lo determinan

Ejemplos: Plano determinado por un punto y un vector normal.   Ejemplos: Plano determinado por un punto y un vector normal. Pág 135: 5 Recta perpendicular a dos vectores: pág 161: 4, pág 127: 17 Plano P, y dos vectores: pág 150: 10 a, b,

PUNTOS COPLANARIOS Tres puntos A, B y C siempre son coplanarios (están en el mismo plano). Determinan un plano si no están alineados. Para que cuatro puntos A, B, C y D sean coplanarios tienen que estar en el mismo plano. Para comprobarlo, basta con hallar la ecuación del plano que determinan tres de los puntos y comprobar si el cuarto punto pertenece a la misma (basta con comprobar si satisface su ecuación)

Ejemplos: - Cuatro puntos coplanarios: pág 124: 4

INTERSECCIÓN ENTRE RECTA y PLANO La forma de proceder para calcular el punto donde se cortan dependerá de las ecuaciones de las mismas. Si la recta está en paramétricas y el plano en general, se sustituye la primera en la segunda. Si ambas están en general, hay que resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (ya conocemos métodos para hacerlo: Gauss, Crámer, Matriz inversa).

Ejemplos: - Punto de corte entre recta y plano: pág 128: 24,

INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS La intersección de dos planos es una recta. Aunque ya hemos visto la forma de averiguar su ecuación cuando los planos están dados en forma general, lo repetimos: Álgebra: llamamos a una incógnita t y calculamos las otras en función de t. ó Calculamos un punto (dando valor a una incógnita) y un vector director (producto vectorial de los vectores normales de los planos). O calculamos tres puntos

Por ejemplo: calcula la recta, en forma paramétrica, que determinan los planos: 3x – y + z = 0, x + 2y - z = 2

ECUACIONES DE LOS PLANOS CARTESIANOS

Ejercicios:. - pág 126: 11 c,. - pág 127: 15 a, c, Ejercicios: - pág 126: 11 c, - pág 127: 15 a, c, - pág 128: 25, 26, 29, 33, - pág 150: 10 c, d - pág 152: 28 a, c - pág 153: 37, 39 - pág 161: 3 - pág 176: 4 - pág 180: 34

Otros:  

PÁGINAS INTERESANTES Página interesante - http://www.tizavirtual.com/varios/geometria_resumen/index.html Ejercicios resueltos:  - TEMAS 6 Y 7 – GEOMETRÍA EN EL ESPACIO (ejercicios PAU sin resolver) -http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/2bach/naturaleza/actividadescomplementarias/ejerciciosresueltosdegeometriadelespacio.pdf (1-5,7-8,10,13-14,16,23-24,30-31,35,40-41,43-44,47-49,51-52,56,58-60) http://www.manolomat.com/atenea/images/stories/pdf/ejercicios_resueltos/Ejercicios_geometria_afin_espacio.pdf (menos) - http://matematicas.iesramonolleros.es/2bcn/pdf/ejerre/geoesp.pdf (2,4-5,7-14,16-18,20,22-23,25-30,35-47)