APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES UNIDAD 1 APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES Aproximación numérica y problema de caja negra. Sistema numérico de punto flotante. Error de redondeo. Error significativo. Error de truncamiento. Error absoluto. Error relativo. Convergencia.

OBJETIVO DE MÉTODOS NUMÉRICOS El objetivo de Métodos Numéricos es resolver problemas numéricos complejos utilizando operaciones simples de la aritmética, con el fin de desarrollar y evaluar métodos para calcular resultados numéricos a partir de los datos proporcionados. Los métodos de cálculo se denominan algoritmos. Y X

MÉTODO NUMÉRICO Un método numérico se puede definir como un sistema formado por datos de entrada, un algoritmo y una salida, que aporta una aproximación a una solución. Para encontrar la respuesta más adecuada a un problema, éste se representa esquemáticamente a través de una caja negra.

UNIDAD 1 APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES La aproximación numérica aparece de la diferencia entre las matemáticas computacionales y las matemáticas exactas. La Matemáticas computacionales Matemáticas exactas PRECISIÓN FINITA INFINITA

LA CAJA NEGRA La caja negra negra representa la relación que existe entre los datos de entrada y los de salida. Relación establecida mediante una función matemática. FUNCIÓN MATEMÁTICA DATOS DE ENTRADA DATOS DE SALIDA

Por lo general se busca una entrada que genere una salida determinada LA CAJA NEGRA Por lo general se busca una entrada que genere una salida determinada Déficit en el Gasto Público Factores políticos Tasa de desempleo EJEMPLOS Jugadores Seleccionados Evento deportivo Éxito en la competencia

LA CAJA NEGRA X2 FUNCIÓN MATEMÁTICA 2 4 4 16 6 36 8 64 10 100 Valor del Dominio FUNCIÓN MATEMÁTICA Valor del Codominio X2 2 4 6 8 10 4 16 36 64 100

LA CAJA NEGRA (EJEMPLO 1) Si se tienen los siguientes valores de entrada y salida de una caja negra, y además se conoce que éstos se interrelacionan linealmente, ¿ Cómo calcularían la entrada para que se produzca una salida de 5?

LA CAJA NEGRA Solución del ejemplo 1 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 5 4 FUNCIÓN LINEAL 5.2 4.25 Y = mX + b

LA CAJA NEGRA Solución del ejemplo 1 b = 0.45 F(X) = 0.95 X + 0.45 X = 4.7894

EJERCICIO 1 (CAJA NEGRA) Suponga que en el problema de caja negra, una entrada de 0 produce una salida de 7 y una entrada de 5 origina una salida de 9. ¿Cuál sería la entrada si la salida objetivo es de 10? Obtenga la solución analítica y gráficamente.

¿ Sería una buena entrada un valor de 1.5 ? EJERCICIO 2 (CAJA NEGRA) Si en una situación de caja negra se obtiene una salida de 2 y además, se conoce que una entrada de 2 produce 1 y una entrada de 1 origina una salida de 3? ¿ Sería una buena entrada un valor de 1.5 ?

TIPOS DE ERRORES Dependiendo de la fuente que los produzca, los errores en que se incurre al utilizar las computadoras para resolver problemas aritméticos, se pueden clasificar como: Error inherente. Error de truncamiento. Error por redondeo. Error significativo. Error propagado. Error absoluto. Error relativo.

TIPOS DE ERRORES Errores inherentes. Error de truncamiento. Se presentar al utilizar series en los cálculos. Como las series de las funciones trigonométricas Sen (X), Cos (X), etc. Las series tienen un número infinito de términos y para hacer cálculos se utiliza un determinado número de dígitos. Se presenta también en los números irracionales como П, e, etc. Errores inherentes. Errores propios de los datos. Se producen al leer una magnitud en algún dispositivo de medición, debido a la imprecisión en los instrumentos o a error humano.

TIPOS DE ERRORES Error por redondeo. Se origina de la imposibilidad de manejar en operaciones aritméticas todos los dígitos resultantes de una operación. Se genera al reemplazar un número real por un número de máquina más cercano. Es consecuencia de la naturaleza finita del sistema numérico, que tiene una longitud de palabra finita.

TIPOS DE ERRORES Error significativo. Error propagado. Expresa que el número de cifras significativas es menor de lo esperado. Error propagado. Error de salida provocado por un error de entrada. Error propagado + Error del proceso Error de entrada ERROR DE PROCESO

ERRORES CUANTIFICABLES Absoluto (E. A) Siempre es positivo. Matemáticas puras. E. A. = valor exacto – valor calculado Error relativo (E. R.) Generalmente se pone en forma porcentual. Matemáticas aplicadas. E. R. = valor exacto-valor calculado valor exacto   E. R.= valor exacto-valor calculado valor calculado

EJEMPLO 1 (ERRORES) Si la máquina con la que labora tiene la capacidad de trabajar con 6 dígitos y el número con el que se realizarán cálculos es el 0.12345678. Defina el error absoluto y el error relativo.

SOLUCIÓN EJEMPLO 1 (ERRORES) ERROR ABSOLUTO = 0.00000078 ERROR RELATIVO = 0.000006318

EJEMPLO 2 (ERRORES) Suponga que se debe evaluar la función F(t) = a t 2 + b t + c Donde a= 5, b= 7, c= -30 X r =3.01 y X = 3 ¿Cuál es el error absoluto? Determina el error relativo.

SOLUCIÓN EJEMPLO 2 (ERRORES) ERROR ABSOLUTO = 0.375 ERROR RELATIVO (ENTRADA)= 0.3322 E -2 (SALIDA) = 1.02 E -2 OBSERVAR QUE EL ERROR RELATIVO PROPAGADO ES CASI TRES VECES MAYOR QUE EL ERROR RELATIVO DE ENTRADA ERROR RELATIVO 1.02 E -2 ERROR RELATIVO 0.3322 E -2 FUNCIÓN F (X) X = 3 X = 3.01 F(X) =36 F(X) = 36.3705

PROBLEMAS DE APLICACIÓN Una empresa que se dedica a manufacturar lápices labiales, evalúa la aceptación de su producto C mediante la ecuación a X3 + b X2 + X = 4, donde a representa la estabilidad del proceso, cuyo valor es de 7 y la variable X es el deslizamiento. Por otro lado, el deslizamiento X se determina a través de la relación log Y. Los datos Y leídos en un día, en los instrumentos indicadores del proceso son los siguientes: 0.124, 0.66, 0.724, 0.3804, 0.3605, 0.4434, 0.215, 0.4303, 0.1111, 0.212.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN Sin embargo, sólo se inspeccionarán aquellos datos que originen un deslizamiento que se encuentra en el rango [ 0.3, 0.83]. Para que el lote se comercialice sin problemas, requiere que C sea menor a 9.534 y mayor a 4.2733.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN Construya la caja negra que representa el problema. Indique los valores de entrada y de salida. Informe cuáles son los datos de salida de los lotes que se aceptan para su venta. Trunque el valor a 2 decimales. ¿Cuántos y cuáles lotes se aceptarán? Muestre el valor de los lotes que no se aceptan. Redondee el resultado al número entero inmediato inferior.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN Identifique en la caja negra los errores que se generan. Cuantifique los errores absoluto, relativo y porcentual. Si el costo de la producción de cada lote es de $200.00, ¿A cuánto asciende la pérdida diaria de la empresa, en función de la producción?

CONVERGENCIA La convergencia es la aproximación numérica a la solución de un modelo matemático, hasta un cierto número de cifras, considerando un rango o tolerancia. En un método numérico para encontrar la respuesta “X” más adecuada a un problema representado a través de un modelo matemático se producen “n” términos de una sucesión X1, X2, X3, ..., X n, (soluciones aproximadas), para determinar la convergencia de la respuesta.

Los criterios para determinar si un método numérico converge son: En el intervalo [Xn, Xn-2]   Xn - Xn-1 < Xn-1 – Xn-2 En el intervalo [Xn, Xn-1] Xn – Xn-1 ≤ Tolerancia Xn – Xn-1 ≥ Error absoluto

Serie de Maclaurin, Sen (x) La expansión en serie de Maclaurin para sen(x) es:   Establezca el valor exacto de sen (x), si x =4 radianes utilizando la calculadora y determine el valor de la expansión usando de 1 a 9 términos. Asimismo, escriba en una tabla la magnitud de los errores absoluto, relativo, absoluto porcentual y relativo porcentual. Trunque los resultados a milésimas.

Serie de Maclaurin, e(x) Calcule el valor de la e(x) mediante la expansión en serie de Maclaurin:   Elabore una tabla para desglosar el valor, el error absoluto y el error relativo que se producen al utilizar de 1 a 10 términos, cuando x = 2. Trunque la solución a milésimas.