Por Prof. Federico Mejía

Factorize cada polinomio: x2 - 36 4x2 - 9 64x2 - 25 4x2 + 9x2 9x2 - 16y2 x3 + 27 x3 - 64 8x3 + 1 8x3 + 125 64x3 - 125

Factorize cada polinomio: x2 - 36 = (x + 6)(x - 6) 4x2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3) 64x2 - 25 = (8x + 5)(8x - 5) 4x2 + 9x2 es un polinomio primo. 9x2 - 16y2 = (3x + 4y)(3x - 4y) x3 + 27 = (x + 3)(x2 - 3x + 9) x3 - 64 = (x - 4)(x2 + 4x + 16) 8x3 + 1 = (2x + 1)(4x2 - 2x + 1) 8x3 + 125 = (2x + 5)(4x2 - 10x + 25) 64x3 - 125 = (4x - 5)(16x2 + 20x + 25)

Toda expresión algebraica de la forma a2 - b2 es una diferencia de cuadrados. Además, podemos demostrar que: a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Demostración Efectuamos el producto (a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb = a2 - b2 y luego de simplificar queda demostrado.

Para factorizar un polinomio por diferencia de cuadrados: Primer Paso Escribimos el polinomio en la forma a2 - b2 Segundo Paso Expresamos la diferencia a2 - b2 como el producto (a + b)(a - b)

Ejemplo 1: Factorice el polinomio: x2 - 25 Primer Paso Escribimos el polinomio en la forma a2 - b2, es decir, x2 - 25 = x2 - 52 donde a = x, b = 5 Segundo Paso Expresamos la diferencia a2 - b2 como el producto (a + b)(a - b). x2 - 25 = x2 - 52 = (x + 5)(x - 5) Donde a = x, b = 5

Ejemplo 2: Factorice el polinomio: 4x2 - 9 Primer Paso Escribimos el polinomio en la forma a2 - b2, es decir, 4x2 - 9 = (2x)2 - 32 donde a = 2x, b = 3 Segundo Paso Expresamos la diferencia a2 - b2 como el producto (a + b)(a - b). 4x2 - 9 = (2x)2 - 32 = (2x + 3)(2x - 3) Donde a = 2x, b = 3

Ejemplo 3: Factorice el polinomio: 4x2 + 9 El polinomio 4x2 + 9 es un polinomio primo. No se puede factorizar. Nota La suma de cuadrados a2 + b2 no se puede factorizar.

Segunda parte: Suma y diferencia de cubos Toda expresión algebraica de la forma a3 + b3 es una suma de cubos y toda expresión de la forma a3 - b3 es una diferencia de cubos. Además, podemos demostrar que: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

Segunda parte: Suma y diferencia de cubos Demostración Efectuamos el producto (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + ba2 - ab2 + b3 = a3 + b3 y luego de simplificar queda demostrado. Ejercicio: Demuestre que (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

Segunda parte: Suma y diferencia de cubos Para factorizar un polinomio por suma o diferencia de cubos: Primer Paso Escribimos el polinomio en la forma a3 - b3 ó a3 + b3 según sea el caso.

Segunda parte: Suma y diferencia de cubos Para factorizar un polinomio por suma o diferencia de cubos: Segundo Paso Aplicamos la fórmula (a3 + b3) = (a + b)(a2 - ab + b2) para la suma de cubos ó la fórmula (a3 - b3) = (a - b)(a2 + ab + b2) para la diferencia de cubos.

Ejemplo 4: Factorice el polinomio: x3 + 27 Primer Paso Escribimos el polinomio en la forma a3 + b3, es decir, x3 + 27 = x3 + 33 Donde a = x, b = 3

Ejemplo 4: Factorice el polinomio: x3 + 27 Segundo Paso Aplicamos la fórmula (a3 + b3) = (a + b)(a2 - ab + b2) x3 + 27 = x3 + 33 = (x + 3)(x2 - x3 + 32) = (x + 3)(x2 - 3x + 9)

Ejemplo 5: Factorice el polinomio: 64x3 - 125 Primer Paso Escribimos el polinomio en la forma a3 - b3, es decir, 64x3 - 125 = (4x)3 - 53 Donde a = 4x, b = 5

Ejemplo 5: Factorice el polinomio: 64x3 - 125 Segundo Paso Aplicamos la fórmula (a3 - b3) = (a - b)(a2 + ab + b2) 64x3 - 125 = (4x)3 - 53 = (4x - 5)((4x)2 + 4x(5) + 52) = (4x - 5)(16x2 + 20x + 25)

Post-prueba Factorize cada polinomio: x2 - 36 4x2 - 9 64x2 - 25 9x2 - 16y2 x3 + 27 x3 - 64 8x3 + 1 8x3 + 125 64x3 - 125 Salir

Factorize cada polinomio: x2 - 36 = (x + 6)(x - 6) 4x2 + 9x2 es un polinomio primo. 9x2 - 16y2 = (3x + 4y)(3x - 4y) x3 + 27 = (x + 3)(x2 - 3x + 9) x3 - 64 = (x - 4)(x2 + 4x + 16) 8x3 + 1 = (2x + 1)(4x2 - 2x + 1) 8x3 + 125 = (2x + 5)(4x2 - 10x + 25) 64x3 - 125 = (4x - 5)(16x2 + 20x + 25) Salir