FISICA I TEMA FUERZAS EN EL ESPACIO 3D

INTRODUCCION A LOS VECTORES 3D Los vectores son una parte muy importante de cualquier motor 3D. Representan una magnitud y una dirección. Se utilizan tanto para representar la geometría de un modelo 3D, como la posición de una cámara en el espacio. Aprender a operar con vectores es fundamental para el programador 3D. Un vector V de dimensión n podríamos representarlo así: V = < V1, V2, …, Vn > Los vectores son un auxiliar utilísimo para la geometría del espacio. En esta unidad partiendo de lo que ya se sabe de vectores en el plano, se contemplan las herramientas necesarias para la geometría tridimensional.

Son tres números que identifican, de manera única, un punto en el espacio. Por ejemplo, el punto, A, queda determinado por x, longitud del segmento rojo medida sobre el eje XX; por y, longitud del segmento azul, medida sobre el eje YY y por z, longitud del segmento verde, medida sobre el eje ZZ.

Los vectores, que eran utilizados en mecánica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo XVII. Con Hamilton inicia el estudio de los vectores. Se le debe a él el nombre de 'vector' producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denominado "cuaterniones'', muy usados hoy en día para el trabajo con rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas las áreas de la física son representadas por medio del lenguaje de los vectores. Análogamente, los elementos se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares.

Componentes Rectangulares de una Fuerza en el Espacio FUERZAS EN EL ESPACIO Componentes Rectangulares de una Fuerza en el Espacio Considere una fuerza F actuando en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z. Como se muestra en la siguiente figura:

Una fuerza F en el espacio tridimensional se puede descomponer en componentes rectangulares Fx, Fy y Fz. Denotado por: Los ángulos que F forma, respectivamente, con los ejes x, y, y z se tiene:

Para definir la dirección de F, se dibuja el plano vertical OBAC que contiene a F (véase la figura de abajo). Este plano pasa a través del eje vertical y su orientación está definida por el ángulo Ø que este formo con el plano XY. La dirección de F dentro del plano está definido por el ángulo Øy que F forma con el eje Y. la fuerza F se puede descomponer en una componente vertical Fy y una componente horizontal Fh; las componentes escolares correspondiente son:

Los vectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales como En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas. La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud. 2D 3D

RESULTANTE DE UNA FUERZA CONCURRENTE EN EL ESPACIO Como hemos visto hasta ahora, las componentes de las fuerzas en el espacio son Fx, Fy y Fz. Por lo tanto la resultante en tres dimensiones viene dado por: Donde Fx2, Fy2 y Fz2, sale de:

Fuerzas concurrentes = son aquellas que actúan sobre un mismo punto al mismo tiempo Ff Fa FN W

¿Qué es fuerza neta? Es la suma de fuerzas Utilizas vectores para demostrar la dirección de esas fuerzas Es el resultado de las fuerzas concurrentes

Ejemplo : Dos fuerzas concurrentes F1 y F2 actúan concurrentemente sobre un bloque de masa m. a) Haz el diagrama de cuerpo libre. b) Calcula la magnitud y dirección de la fuerza resultante Fr = 45 N, 26.6º

Otras direcciones F1= 40 N, O F2= 20 N, N F2= 20 N, S   F2= 20 N, S Fr = 45N , 153.4º Fr = 45 N, 206.6º

Otras direcciones F1= 40 N, E F2= 20 N, S Fr = 45N, 333.4º

EQUILIBRIO DE FUERZAS EN EL ESPACIO = se dice que un objeto está en equilibrio cuando la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero

Fuerza equilibrante = tiene la misma magnitud de la resultante pero en dirección opuesta Existe una diferencia de 180 grados Fr Fe

P Ejemplo 1 Unas fuerzas concurrentes de 55 N, Este y 70 N, Norte actúan sobre el punto P. Haz el diagrama. a) determina la magnitud y dirección de la Fuerza resultante. Determina la magnitud y dirección de la Fuerza equilibrante. Fr = 89N, 51.8º Fe = 89N, 231.8º

Ejemplo 2 Encuentra la suma de los siguientes vectores de desplazamiento: (5i –2j+7k)m y (-8i –4j-6k)m = (-3i – 6j+k) Determina la magnitud de la resultante: R2 = R2x + R2y + R2Z

Ejercicio 1 1.- Una placa rectangular está sostenida por los 3 cables mostrados en la figura. Sabiendo que la tensión en el cable AD es de 429 Newtons, determine las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en D.

Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ángulos θx, θy y θz y después obtener las componentes de la fuerza AD. De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son: dx = 36 cm, dy = 48 cm, dz = -25 cm

Ejercicio 1 Una fuerza F de magnitud 210 Newtons, actúa en el origen de un sistema coordenado. Sabiendo que Fx = 80 N, θz = 151.2° y Fy >0. Determine a) las componentes Fy y Fz y los ángulos θx y θy. Solución el la pizarra

Ejercicios Adicionales 1.- Un avión despega y viaja 10.4 Km. al oeste, 8.7 Km. al norte y 2.1 Km. hacia arriba. A) Dibuje el diagrama de cuerpo libre B?¿a que distancia esta desde su punto de partida? 2.- Calcular los ángulos correspondientes del ejercicio anterior. 3.- Un profesor de física desorientado conduce 3.25 Km al norte, 4.75 Km al oeste y 1.50 Km al sur. Calcule la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante, usando el método de las componentes. En un diagrama de suma d vectores (a escala aproximada), muestre que el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide cualitativamente con el obtenido con el método de las componentes. 5.- Mostrar en que ángulos queda inclinado cada componente