Cálculo de ceros de funciones de Rn–> Rn : Supongamos una función que asigna una n-tupla a una n-tupla, es decir: donde:

Podemos entender la función de Rn en Rn como una función de n componentes, siendo cada una de esas n componentes una función de Rn en R: donde: Si queremos encontrar un cero de la función de Rn en Rn tendremos que buscar una n-tupla (x1, x2, …, xn) de la siguiente forma:

Lo anterior es equivalente a resolver el siguiente sistema de n ecuaciones (que, pueden ser no lineales) con las n incognitas x1, x2, …, xn: Si las ecuaciones son lineales, el problema se puede solucionar con los procedimientos usuales; por ejemplo, con la regla de Cramer si la matriz de los coeficientes es regular (es decir, si la solución existe y es única). Cuando las ecuaciones no son todas lineales, vamos a ver un procedimiento numérico, llamado método de Newton-Raphson, que nos va a permitir obtener soluciones numéricas aproximadas.

Método de Newton-Raphson: Este procedimiento se basa en la extensión del método de Newton que vimos para funciones de R en R, para su aplicación en funciones de Rn en Rn . De la misma manera que en el método de Newton, en una dimensión, aproximábamos el comportamiento local de la función en un punto inicial adecuado, x0, truncando el desarrollo en la primera derivada: ahora en n dimensiones, aproximaremos las funciones, fi(x1, x2, …, xn) de Rn en R en una n-tupla inicial adecuada, (x10, x20, …, xn0) truncando el desarrollo en las primeras derivadas parciales:

Tomando las siguientes abreviaturas: nos queda que: que constituyen el siguiente sistema de n aproximaciones:

que se pueden escribir matricialmente del siguiente modo:

Buscamos ahora una n-tupla, (x11, x21, …, xn1) para la que el hiperplano tangente a la función se anule:

Por tanto, la n-tupla (x11, x21, …, xn1) en la que el hiperplano tangente se hace cero es:

donde:

Es decir, partiendo de una n-tupla adecuada, (x10, x20, …, xn0),usamos la fórmula: para obtener otra n-tupla (x11, x21, …, xn1) más aproximada al cero de la función. Esta nueva n-tupla se puede usar como punto de partida para obtener otra n_tupla (x12, x22, …, xn2) que sea una mejor aproximación al cero mediante la siguiente expresión: donde ahora, es la matriz inversa del jacobiano calculado en la n-tupla Así, mediante este proceso iterativo, nos iríamos aproximando al cero.

Partiendo del punto x = 1, y = 1/2, resolver el siguiente sistema: Lo anterior es equivalente a: ¡¡¡EN RADIANES!!!

Haciendo f1(x1,y1) = f2(x1,y1) = 0, se obtiene (x1,y1):

Partiendo del punto x1 = 0.4, x2 = 3.0, encontrar los ceros de: Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 1, y =1: Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 3, y =1:

Partiendo del punto x1 = 0.4, x2 = 3.0, encontrar los ceros de: ¡¡¡EN RADIANES!!!

Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 1, y =1: ¡¡¡EN RADIANES!!!

Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 3, y =1: ¡¡¡EN RADIANES!!!