Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides para Eliminar Singularidades Estructurales Esta presentación trata con un algoritmo que puede usarse para la eliminación de singularidades estructurales de un modelo en forma sistemática y algorítmica. Se llama el algoritmo de Pantelides. El algoritmo de Pantelides es un algoritmo simbólico de la reducción del índice de perturbación.

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Contenido Singularidades estructurales y el dígrafo de la estructuraSingularidades estructurales y el dígrafo de la estructura El algoritmo de PantelidesEl algoritmo de Pantelides

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Singularidades Estructurales: Un Ejemplo I I 1 I 2 I 3 i C i L1 i L2 i R v 1 v 2 v 3 v 0 Ensamblamos un modelo usando corrientes, voltajes y potenciales. Por consecuencia las ecuaciones de las mallas no se usan. El circuito tiene 7 elementos más la tierra produciendo 2  = 15 ecuaciones. Adicionalmente hay 4 nodos en el circuito produciendo 3 ecuaciones más. Entonces se pueden esperar 18 ecuaciones en 18 incógnitas. De costumbre, voltajes y corrientes se normalizan en la misma dirección para elementos pasivos y en dirección contraria para elementos activos (fuentes).

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Singularidades Estructurales: Un Ejemplo II 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 /dt 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0  I1I1 I2I2 I3I3 uRuR iRiR u L1 di L1 /dt u L2 di L2 /dt iCiC du C /dt v0v0 v1v1 v2v2 v3v3 u1u1 u2u2 u3u3

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Singularidades Estructurales: Un Ejemplo III 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 /dt 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0  I1I1 I2I2 I3I3 uRuR iRiR u L1 di L1 /dt u L2 di L2 /dt iCiC du C /dt v0v0 v1v1 v2v2 v3v3 u1u1 u2u2 u3u

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Singularidades Estructurales: Un Ejemplo IV 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 /dt 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0  I1I1 I2I2 I3I3 uRuR iRiR u L1 di L1 /dt u L2 di L2 /dt iCiC du C /dt v0v0 v1v1 v2v2 v3v3 u1u1 u2u2 u3u Ecuación de restricción Todas las conexiones son azules

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Coloración del Dígrafo de la Estructura El algoritmo de la coloración del dígrafo de la estructura es análogo al método de la coloración de las ecuaciones usado antes. Una implementación del algoritmo usando un compilador probablemente usará el dígrafo ya que ese algoritmo puede transformarse fácilmente a estructuras de datos comunes en idiomas de la programación. Para el ojo humano la coloración de las ecuaciones puede resultar más bien legible. Por eso continuaremos coloreando las ecuaciones en lugar del dígrafo. La ordenación vertical puede efectuarse simultáneamente usando la renumeración de las ecuaciones.

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides I Una vez que una ecuación de restricción se encontró, esa ecuación tiene que derivarse. Usando el algoritmo de Pantelides, la ecuación de restricción derivada se añade al sistema de ecuaciones. Por consecuencia, el sistema de ecuaciones ahora tiene más ecuaciones que incógnitas. El número de ecuaciones e incógnitas puede equilibrarse de nuevo eliminando uno de los integradores asociados con la ecuación de restricción.

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides II dx dt x  incógnita conocido porque se trata de una variable de estado dx dt x  incógnita  dx x incógnita  Una incógnita adicional se produjo por la eliminación del integrador. x y dx ahora son variables algebraicas, para la evaluación de las cuales deben encontrarse ecuaciones.

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides III En la diferenciación de las ecuaciones de restricción puede ocurrir que variables adicionales se generan, por ejemplo v  dv, donde v as una variable algebraica. Se sabe que v ya está coloreado en azul (como se trata de una ecuación de restricción que solamente contiene variables azules). Entonces existe otra ecuación en la cual se encuentra v coloreado en rojo. Aquella ecuación también tiene que derivarse. La diferenciación de ecuaciones adicionales continúa hasta que no se genera ninguna variable nueva más.

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides: Un Ejemplo I 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 /dt 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0 dI 1 + di C + di L2 + dI 3 = 0 Integrador eliminado Nuevas variables introducidas

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides: Un Ejemplo II 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 /dt 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0 19: dI 1 + di C + di L2 + dI 3 = 0 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2  1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0 19: dI 1 + di C + di L2 + dI 3 = 0

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides: Un Ejemplo III 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 20: dI 1 = df 1 (t)/dt 21: dI 3 = df 3 (t)/dt 22: di C = di L1 /dt + dI 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0 19: dI 1 + di C + di L2 + dI 3 = 0 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 u L1 = L 1 · di L1 /dt Nueva variable introducida 23: dI 2 = df 2 (t)/dt

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides: Un Ejemplo IV 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0 19: dI 1 + di C + di L2 + dI 3 = 0 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 20: dI 1 = df 1 (t)/dt 21: dI 3 = df 3 (t)/dt 22: di C = di L1 /dt + dI 2 23: dI 2 = df 2 (t)/dt

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides: Un Ejemplo V 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0 19: dI 1 + di C + di L2 + dI 3 = 0 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 20: dI 1 = df 1 (t)/dt 21: dI 3 = df 3 (t)/dt 22: di C = di L1 /dt + dI 2 23: dI 2 = df 2 (t)/dt

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides: Un Ejemplo VI 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0 19: dI 1 + di C + di L2 + dI 3 = 0 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 20: dI 1 = df 1 (t)/dt 21: dI 3 = df 3 (t)/dt 22: di C = di L1 /dt + dI 2 23: dI 2 = df 2 (t)/dt

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides: Un Ejemplo VII 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0 19: dI 1 + di C + di L2 + dI 3 = 0 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 20: dI 1 = df 1 (t)/dt 21: dI 3 = df 3 (t)/dt 22: di C = di L1 /dt + dI 2 23: dI 2 = df 2 (t)/dt

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides: Un Ejemplo VIII 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0 19: dI 1 + di C + di L2 + dI 3 = 0 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 20: dI 1 = df 1 (t)/dt 21: dI 3 = df 3 (t)/dt 22: di C = di L1 /dt + dI 2 23: dI 2 = df 2 (t)/dt Resulta un sistema algebraico con 7 ecuaciones en 7 incógnitas. di L2 Elección

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 El Algoritmo de Pantelides: Un Ejemplo IX 9: u 1 = v 0 – v 1 10: u 2 = v 3 – v 2 11: u 3 = v 0 – v 1 12: u R = v 3 – v 0 13: u L1 = v 2 – v 0 14: u L2 = v 1 – v 3 15: u C = v 1 – v 2 16: i C = i L1 + I 2 17: i R = i L2 + I 2 18: I 1 + i C + i L2 + I 3 = 0 19: dI 1 + di C + di L2 + dI 3 = 0 1: I 1 = f 1 (t) 2: I 2 = f 2 (t) 3: I 3 = f 3 (t) 4: u R = R · i R 5: u L1 = L 1 · di L1 /dt 6: u L2 = L 2 · di L2 7: i C = C · du C /dt 8: v 0 = 0 20: dI 1 = df 1 (t)/dt 21: dI 3 = df 3 (t)/dt 22: di C = di L1 /dt + dI 2 23: dI 2 = df 2 (t)/dt

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Conclusiones I Empezamos deduciendo un sistema completo de EDAs. El algoritmo de Tarjan de la coloración del dígrafo se aplica al sistema de EDAs. Si se encuentra una ecuación coloreada completamente en azul, el sistema contiene una singularidad estructural. El sistema estructuralmente singular se hace regular usando el algoritmo de Pantelides. Puede suceder que el algoritmo de Pantelides tiene que aplicarse múltiples veces. Cada vez el índice de perturbación se reduce por uno.

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Conclusiones II Ahora el algoritmo de Tarjan de la coloración del dígrafo se aplica al sistema de EDAs modificado (regular). Si el algoritmo se atasca, el sistema modificado contiene al menos un bucle algebraico. La introducción de nuevos bucles algebraicos en la aplicación del algoritmo de Pantelides es muy común. Se puede continuar con el procesamiento del sistema. El algoritmo de rasgadura es uno de los algoritmos que puede usarse para tratar con bucles algebraicos.

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 5, 2008 Referencias Cellier, F.E. and H. Elmqvist (1993), “Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling,” IEEE Control Systems, 13(2), pp Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling Pantelides, C.C. (1988), “The consistent initialization of differential-algebraic systems,” SIAM Journal Scientific Statistical Computation, 9(2), pp