Valeria Flores De La Luz Walberth Hernández Ramírez Polinomio de Legendre Valeria Flores De La Luz Walberth Hernández Ramírez
Resumen Es uno de los ejemplos más importantes de los Polinomios Ortogonales. Aparecen como soluciones en varios problemas clásicos como: Aplicaciones matemáticas Propagación de ondas Reconocimiento de patrones Reconstrucción de señales digitales Las soluciones de los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1, 1]. Tiene la característica de que Pn(1) = 1
donde λ=n(n+1) y n=grado del polinomio Los polinomios de Legendre surgen como alternativa para solucionar la ecuación diferencial de Legendre, que en su forma canónica se define como: (1-x2)y’’ – 2xy’ + λy = 0 donde λ=n(n+1) y n=grado del polinomio Cuya solución general es la combinación lineal de dos soluciones literalmente independientes: y(x) = Ay1(x)+By2(x) Toma la forma de y(x) = APn(x) + BQn(x)
Los primeros 6 polinomios de Legendre Pn(x) están representados como:
Computacionalmente existen varios métodos para implementar los polinomios de Legendre
P0(x) = 1 Para calcular el polinomio cuando n=0 se resuelve la siguiente integral = 2 2 0 +1 =1
P1(x) = x P1(x) = (x-B) P0(x) Donde 𝐵1= −1 1 𝑥 𝑑𝑥 −1 1 𝑑𝑥 =0
Para n>=2
Algoritmo ENTRADA grado n y x Salida: El valor del polinomio de grado n, evaluado en x p0=1; p1=x; Si n = 0 return p0; Si n=1 return p1; Para k=1 hasta n pn = (((2*k+1)*x*p1) –(k*p0))/(k+1); p0=p1; p1= pn; Fin_para Imprime pn
Resultados
Interpolación de Legendre 𝑦 𝑛 𝑥 = 𝑖=0 𝑛 𝑥 𝑖 𝑃 𝑛 (𝑥) 𝒚 𝒏 𝒙 = 𝒙 𝒐 𝑷 𝒐 𝒙 + 𝒙 𝟏 𝑷 𝟏 𝒙 . . . 𝒙 𝒏 𝑷 𝒏 𝒙 Ejemplo : 𝑥 0 =1.21 𝑥 1 =1.23 𝑥 2 =0.43 𝑦 3 𝑥 =1.21 1 +1.23 𝑥 +0.43( 3𝑥 2 −1 2 ) 𝑦 𝑛 𝑥 =1.21+1.23𝑥+ 0.64𝑥 2 −0.21