Ing. Santiago Figueroa Lorenzo Matemática V Tema: Funciones Ing. Santiago Figueroa Lorenzo

PREMISAS + = Comprender la clase recibida Resultados satisfactorios Afianzar ese conocimiento a través de ejercicios prácticos = Resultados satisfactorios

¿ Cómo ganar ? Compresión de la Clase Teórica. Estudio Sistemático (Si realiza todas las Tareas Extralclase: GANA). Entrega impecable de Trabajos y Tareas Extraclase (seguir formato de presentación colocado en sitio web).

HERRAMIENTAS Sitio Web de la asignatura http://coleita.jimdo.com Google Drive (necesario hacerse una cuenta en gmail y enviarme un correo desde el menú de acceso de la página). Derive (versión 6.1) Bibliografía auxiliar, Sullivan, Álgebra y Trigonometría, 7ma Edición.

TEMAS UNIDAD I. PlANO CARTESIANO 1- Rectas: 2- Funciones: Incrementos Pendiente Rectas Paralelas y Perpendiculares Ecuaciones lineales Gráficas 2- Funciones: Introducción a las funciones

OBJETIVOS Analizar el comportamiento de las rectas y sus propiedades. Conocer el concepto de funciones, así como sus propiedades y su representación en la plano cartesiano.

BIBLIOGRAFÍA Álgebra y Trigonometría, Sullivan, Séptima Edición.

INTRODUCCIÓN En estudios anteriores usted analizó que dos rectas que se intersectan entre si forman un plano. Y que en matemática es un concepto fundamental el de plano cartesiano, que son dos rectas que se intersectan de manera perpendicular, es decir formando un ángulo de 90 grados entre ellas. La recta horizontal se llama eje de las abscisas y al vertical Eje de las ordenadas.

INTRODUCCIÓN En un plano cartesiano se pueden representar: Infinitos puntos Infinitas rectas Funciones

RECTAS Qué es una recta? Es una línea que une dos o más puntos en un plano. B(x2;y2) A(x1;y1)

RECTAS Analizando coordenadas de A y B Incrementos Si A(x1 ; y1) y B(x2 ; y2) son dos puntos cualesquiera en el plano, se define el incremento de x como la diferencia de las abscisas ∆𝑥= 𝑥 2 − 𝑥 1 y el incremento y como la diferencia de las ordenadas ∆𝑦= 𝑦 2 − 𝑦 1 ∆𝑦 B(x2;y2) A(x1;y1) ∆𝑥

RECTAS La recta tiene Pendiente Toda recta tiene un ángulo de elevación con respecto a los ejes coordenados. 𝜶

RECTAS Pendiente de la Recta Si A(x1 ; y1) y B(x2 ; y2) son dos puntos cualesquiera en el plano, se define la pendiente de la recta se define como el cociente. 𝑚= ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 ∆𝑦 B(x2;y2) A(x1;y1) ∆𝑥

RECTAS Ejemplo Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) (6 , 3), (-2 , 5) 𝑚= ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 = 5−3 −2−6 = 2 −8 =− 1 4 ∆𝑦 B(x2;y2) A(x1;y1) ∆𝑥

RECTAS Pendiente de la Recta. Casos especiales Pendiente Indefinida Pendiente Cero A(x1;y1) B(x2;y2) ∆𝑦 ∆𝑦=0 A(x1;y1) B(x2;y2) ∆𝑥=0 ∆𝑥

RECTAS Rectas paralelas y perpendiculares L1 y L2 son rectas paralelas si y solo si m1 = m2. L1 y L2 son rectas perpendiculares si y solo si m1 m2 = - 1. Rectas Paralelas Rectas Perpendiculares 𝐿 1 𝐿 1 𝐿 2 𝐿 2

RECTAS 𝛼=𝛽 ¿ Por qué las Rectas Paralelas tienen igual pendiente ? 𝐿 1 𝐿 2 𝐿 1 𝐿 2 𝛼 𝛽 𝛼=𝛽

RECTAS Rectas perpendiculares Demostración 𝐿 1 𝐿 2 𝑏 2 = 𝑐 2 + 𝑎 2 𝑚 2 = ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦 2 − 𝑦 0 𝑥 2 − 𝑥 0 𝑚 1 = ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦 1 − 𝑦 0 𝑥 1 − 𝑥 0 𝑏 2 = 𝑐 2 + 𝑎 2 ( 𝑥 1 − 𝑥 2 ) 2 + ( 𝑦 1 − 𝑦 2 ) 2 = ( 𝑥 1 − 𝑥 2 ) 2 + ( 𝑦 1 − 𝑦 2 ) 2 + ( 𝑥 1 − 𝑥 2 ) 2 + ( 𝑦 1 − 𝑦 2 ) 2 𝑦 1 − 𝑦 0 𝑦 2 − 𝑦 0 =−( 𝑥 1 − 𝑥 0 ) ( 𝑥 2 − 𝑥 0 ) 𝐿 1 𝐿 2 C(x2;y2) b B(x1;y1) 𝑦 2 − 𝑦 0 𝑥 2 − 𝑥 0 × 𝑦 1 − 𝑦 0 𝑥 1 − 𝑥 0 =−1 c a A(x0;y0) 𝑚 1 × 𝑚 2 =−1

RECTAS Ecuaciones de Recta Se obtiene con solo un punto. 𝑚= ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦− 𝑦 1 𝑥− 𝑥 1 𝑚= 𝑦− 𝑦 1 𝑥− 𝑥 1 B(x2;y2) ∆𝑦 A(x1;y1) 𝑚(𝑥− 𝑥 1 )=𝑦− 𝑦 1 ∆𝑥

RECTAS Ejemplo Encontrar una ecuación de la recta que pase por (6 ; - 2) y tenga pendiente 4 𝑚= 𝑦− 𝑦 1 𝑥− 𝑥 1 4= 𝑦−(−2) 𝑥−6 B(x2;y2) ∆𝑦 4(𝑥−6)=𝑦−(−2) A(x1;y1) 4𝑥−24=𝑦+2 4𝑥−24=𝑦+2 ∆𝑥 𝑦=4𝑥−26

RECTAS Forma general de la ecuación ∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑦 ∆𝑦=0 𝑦= 𝑦 1 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 B(x2;y2) ∆𝑦=0 B(x2;y2) ∆𝑦 A(x1;y1) A(x1;y1) ∆𝑥 ∆𝑥 𝑦= 𝑦 1 B(x2;y2) 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 ∆𝑦 A(x1;y1) ∆𝑥=0 𝑥= 𝑥 1

RECTAS Ejemplo Encontrar una ecuación para la recta que pasa por (2 , - 3), (-4 , 1) 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 𝑚= ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 = 1−(−3) −4−2 = 4 −6 =− 2 3 𝑦=− 2 3 𝑥+𝑏 Evaluando para (-4 , 1) 1=− 2 3 (−4)+𝑏 A(-4 ; 1) 𝑏=− 5 3 B(2 ; -3) 𝑦=− 2 3 𝑥− 5 3

RECTAS Ecuación lineal Toda ecuación 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 En la que x, y aparecen a la primera potencia y a, b, c, son constantes. Caso 1 𝑎=0 𝑏≠0 Recta Vertical 𝑦=− 𝑐 𝑏 Caso 2 𝑎≠0 𝑏=0 Recta Vertical 𝑥=− 𝑐 𝑎 Caso 3 𝑎≠0 𝑏≠0 Recta 𝑦=− 𝑎 𝑏 𝑥− 𝑐 𝑎 Comparando 𝑦=− 𝑎 𝑏 𝑥− 𝑐 𝑎 con 𝑦=𝑚𝑥+𝑏 𝑚= − 𝑎 𝑏 𝑏= − 𝑐 𝑎

TAREA EXTRACLASE Ejercicios propuestos en el Sitio Web Tarea Extraclase 1

CONCLUSIONES Se comenzó a introducir el concepto de función. Se analizaron las rectas, así como las propiedades de las mismas, llevando el análisis hasta poder construir gráficas de ecuaciones lineales. Se comenzó a introducir el concepto de función.