FUNCIONES ELEMENTALES Tema 9 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

FUNCIONES CUADRÁTICAS Tema 9.2 * 1º BCS @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I FUNCIÓN CUADRÁTICA Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x2 , y = a.x2 + b , y = a.x2 + b.x , y = a.x2 + b.x + c Podemos decir que es una función cuadrática. En ella x es la variable independiente e y es la variable dependiente. Las letras a, b y c son los llamados parámetros. La señalaremos así: f(x) = a.x2 , f(x) = a.x2 + c , f(x) = a.x2 + b.x , f(x) = a.x2 + b.x + c Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva llamada PARÁBOLA. @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I La función f(x)= a.x2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x Sea y = - 2.x2 Tabla de valores x y -3 - 18 -2 - 8 -1 - 2 0 0 1 - 2 2 - 8 3 - 18 - 2 - 8 - 18 y @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I La función f(x)= a.x2 + c y Sea y = x2 - 2 Tabla de valores x y -3 7 -2 2 -1 - 1 0 - 2 1 - 1 2 2 3 7 7 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x - 1 - 2 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I La función f(x)= a.x2 + b.x 6 4 Sea y = - x2 + 5.x Tabla de valores x y -3 - 24 -2 - 14 -1 - 6 0 0 1 4 2 6 3 6 -2 -1 0 1 2 3 x - 6 - 14 y @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

La función f(x)= a.x2 + b.x + c y 18 Sea y = x2 - 2.x + 3 Tabla de valores x y -3 18 -2 11 -1 6 0 3 1 2 2 3 3 6 11 6 3 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I GRÁFICA DE LA PARÁBOLA Toda función cuadrática hemos visto que da lugar a una parábola. Para construir una parábola necesitamos cuatro elementos: Vértice, Eje de simetría, Cortes con ejes y Tabla de valores. 1.- VÉRTICE DE LA PARÁBOLA Como todo punto tendrá dos coordenadas, xv e yv , abscisa y ordenada: V(xv , yv) Siempre se cumple: xv = - b / 2.a  yv=a.xv2 +b.xv+ c Ejemplo 1 Sea f(x) = x 2 + 4.x + 3 Hallar el vértice. Como b = 4 y a = 1  xv = - 4 / 2 = - 2  yv= (-2)2 + 4(-2) + 3 = - 1 Luego: V(- 2 , - 1) 2.- EJE DE SIMETRÍA Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv En el ejemplo anterior: x = – 2 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 3.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Si hacemos x=0  y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas. Si hacemos f(x)=0  La solución de la ecuación a.x 2 +b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay. Ejemplo 1 Sea f(x) = x 2 + 4.x + 3 Hallar los cortes con los ejes. Hacemos x=0  f(0) = 02 + 4.0 + 2 = 3  Pc(0, 3) Hacemos f(x)=0  x 2 + 4.x + 3 = 0 , ecuación que resolvemos: x = [- 4+/- √(16 – 12)] / 2 = (- 4 +/- 2) / 2 x1 = - 1 y x2 = - 3  Pc(- 1 , 0) y Pc (- 3 , 0) 4.- TABLA DE VALORES Además de los ya calculados, vértice y cortes, dos o cuatro más de valor simétrico respecto al valor del vértice. En el ejemplo anterior, como el vértice está en x = - 2, los valores x = - 4 y x = 0 serán simétricos. @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo gráfico 1 Sea y = x2 + 4.x + 3 Vértice: V(-2,-1) Cortes con ejes: Pc(0 , 3) Pc(-1 , 0) y Pc(-3 , 0) Puntos simétricos: x = - 5  y = 25 – 20 + 3 = 8 P1( - 5 , 8) x = 1  y = 1 + 4 + 3 = 8 P1( 1 , 8) y 5 -5 -4 -3 - 2 -1 0 1 x -1 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo gráfico 2 Sea y = x2 - 4 Calculamos el vértice: xv = - b / 2.a = 0 / 2 = 0 yv= 02 - 4 = - 4 El corte con el eje de ordenadas coincide con el vértice al ser x=0 Como x2 - 4 = (x +2).(x – 2) x=2 y x= -2 son los puntos de corte con el eje de abscisas , soluciones de la ecuación x2 - 4 = 0 Damos valores a x simétricos respecto a xv - 3 y 3, al igual que -1 y 1 son simétricos respecto a x = 0 y 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -4 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Dominio, recorrido y simetría Sea la función f(x) = a.x2 + b.x + c Como en cualquier función polinómica, para cualquier valor de x habrá un valor o imagen de y . El dominio de f(x) será R.  Dom f(x) = R RECORRIDO Recorrido o imagen son todos los posibles valores que puede tomar f(x), o sea la ordenada, y. La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del vértice a –oo, según sea cóncava o convexa. Img f(x) = (yv , + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS. Img f(x) = (- oo, yv ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS. SIMETRÍA Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR: f(x) = f(-x) @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 1 Ejemplos gráficos 2 y 3 Ejemplo 2 Sea f (x) = x2 - 3 Dom f(x) = R Vértice: xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0 yv= 02 - 3 = - 3 V(0, - 3) Img f(x) = [ - 3, +oo) Sea f (x) = - x2 + x Dom f(x) = R Vértice: xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2 yv= - (1/2)2 + 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25 V(0’5 , 0´25) Img f(x) = (- oo, 0,25] V 0,25 -3 V @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Costes de producción El coste, en euros, para producir entre 50 y 250 unidades de un cierto producto, viene dado por la función: Siendo x la cantidad de unidades producidas y C(x) el coste en euros a) ¿Qué cantidad de productos hemos producido si sabemos que el coste ha sido de 10000 €? b) ¿Cuántas unidades se deben producir para que el coste sea mínimo?. Resolución a) 10000 = 0,25.x2 – 45.x + 8000  0,25.x2 – 45.x – 2000 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ 45 ± √(2025 + 2000)] / 0,50 =[ 45 ± 63 ] / 0,50 = 216 unidades b) El mínimo coste, valor de f(x) estará en el vértice: x = - b / 2.a = – ( – 45) / 2.0,25 = 90 unidades. C(90) = 0,25.902 – 45.90 + 8000 = 2025 – 4050 + 8000 = 5975 @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I