TRIGONOMETRÍA DÍA 15 * 1º BAD CT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EL RADIAN SISTEMA SEXAGESIMAL Cada una de las 360 partes iguales en que queda dividida la circunferencia se llama grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto a su vez se divide en 60 segundos. EL RADIAN En trigonometría se utiliza como unidad fundamental el Radian, que se define como aquel ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual a la del radio. Para deducir el valor de un radian partiremos de la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia. P = 2.π.r Sabemos que el giro completo de una circunferencia vale 360°: 2.π rad = 360º A Radio =r Arco AB = r B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Equivalencias Tenemos que π radianes es igual a 180°. Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes equivalencias Rad. π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π Grados 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° Rad. 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π Grados 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Trigonometría Trigonometría La palabra trigonometría proviene del vocablo griego trígono –triángulo-, y metron –medida-, que se refiere a las medidas de los ángulos de un triangulo. La trigonometría es la rama de las matemáticas que intenta establecer las relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo, para así poder resolverlos. Así entonces resolver un triangulo significa encontrar el valor de sus tres lados, y el de sus tres ángulos, para esto nos valdremos del teorema de Pitágoras para encontrar el valor de un lado, si es que ya conocemos dos, y de las funciones trigonométricas para conocer el valor de los ángulos internos si es que ya conocemos mínimo un lado. Y así posteriormente podremos combinar las funciones trigonométricas con el teorema de Pitágoras para poder resolver problemas de mayor dificultad. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica. a c b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Reconocimiento de triángulos Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. Si a2 = b2 + c2  El triángulo es RECTÁNGULO. Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. Si a2 < b2 + c2  El triángulo es ACUTÁNGULO. Los tres ángulos son menores de 90º. Si a2 > b2 + c2  El triángulo es OBTUSÁNGULO. Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a c c c A<90º A=90º A>90º b b b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones trigonométricas En todo triángulo rectángulo, con independencia de las medidas de sus lados (catetos e hipotenusa) hay unas relaciones entre sus lados que se cumplen siempre, y que sólo dependen del valor de los ángulos agudos del triángulo. B Hipotenusa B c a A=90º C A b C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones en un triángulo RAZONES DIRECTAS El seno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y la hipotenusa, a. Se escribe sen C El coseno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo, b, y la hipotenusa, a. Se escribe cos C La tangente de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y el cateto adyacente, b. Se escribe tg C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones en un triángulo RAZONES INVERSAS Se llaman así porque son inversas de las razones anteriores: La cosecante de un ángulo agudo, B, es la inversa del seno. Se escribe cosec B = 1 / sen B La secante de un ángulo agudo, B, es la inversa del coseno. Se escribe sec B = 1 / cos B La cotangente de un ángulo agudo, B, es la inversa de la tangente. Se escribe cotg B = 1 / tg B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=5, b=4, c=3 sen C=c/a=3/5=0,6 cos C=b/a=4/5=0,8 tg C=c/b=3/4=0,75 cosec C=1/sen C=1/0,6=5/3 sec C=1/cos C=1/0,8=1,25 cotg C=1/tg C=1/0,75=4/3 B Hipotenusa B c a A=90º C A b C IMPORTANTE Como un cateto siempre es menor que la hipotenusa: sen α ≤ 1 cos α ≤ 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=5, b=4, c=3 sen B=b/a=4/5=0,8 cos B=c/a=3/5=0,6 tg B=b/c=4/3 cosec B=1/sen B=1/0,8=1,25 sec B=1/cos B=1/0,6=5/3 cotg B=1/tg B=1/(4/3)=0,75 B Hipotenusa B c a A=90º C A b C IMPORTANTE Cuando los ángulos son complementarios, B+C=90º: sen B = cos C cos B = sen C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Algunas razones muy utilizadas Conviene saberse de memoria las siguientes razones trigonométricas, al objeto de conseguir rapidez y exactitud: Sen 30º = 1 / 2 Cos 30º = √3 / 2 Tg 30º = √3 / 3 Sen 45º = √2 / 2 Cos 45º = √2 / 2 Tg 45º = 1 Sen 60º = √3 / 2 Cos 60º = 1 / 2 Tg 60º = √3 √2 45º 30º √3/2 60º ½ ½ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ángulos y Cuadrantes Primer Cuadrante Segundo cuadrante 0º < α < 90º 90º < α < 180º 0 < α < π/2 rad π/2 < α < π rad Tercer Cuarto 180º < α < 270º 270º < α < 360º π/2 < α < 3π/2 rad 3π/2 < α < 2π rad π/2 rad 90º Cuad. I Cuad. II 0 rad r=1 0º 180º α π rad 360º Cuad. III 2π rad Cuad. IV 270º 3π/2 rad Circunferencia goniométrica es la que tiene por radio la unidad. Es la empleada en trigonometría. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Líneas trigonométricas El seno de un ángulo en el primer cuadrante es AB/r , pero al ser r=1, el valor del seno coincide con la ordenada del punto A, o sea con la línea o segmento AB sen α = AB Lo mismo pasa con el coseno de un ángulo en el primer cuadrante. cos α = OB De forma similar ocurre con la tangente de un ángulo del primer cuadrante. tg α = CD En la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas se transforman en líneas trigonométricas, lo que permite visualizar su valor. C A r=1 α O B D @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Valor y signo en 1º Cuadrante RAZONES EN EL PRIMER CUADRANTE Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 0º a 90º, el valor del seno (en color rojo) aumenta de 0 a 1. Asimismo vemos que siempre queda por encima del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre positivo. 0 < sen α < 1 También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 0º a 90º, el valor del coseno (en color verde) disminuye de 1 a 0. Asimismo vemos que siempre queda a la derecha del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre positivo. 1 > cos α > 0 90º β α 0º 180º 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Valor y signo en 2º Cuadrante RAZONES EN EL SEGUNDO CUADRANTE Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 90º a 180º, el valor del seno (en color rojo) disminuye de 1 a 0. Asimismo vemos que siempre queda por encima del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre positivo. 1 > sen α > 0 También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 90º a 180º, el valor del coseno (en color verde) disminuye de 0 a – 1. Asimismo vemos que siempre queda a la izquierda del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre negativo. 0 > cos α > – 1 90º α β 0º 180º 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Valor y signo en 3º Cuadrante RAZONES EN EL TERCER CUADRANTE Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 180º a 270º, el valor del seno (en color rojo) disminuye de 0 a – 1. Asimismo vemos que siempre queda por debajo del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre negativo. 0 > sen α > – 1 También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 180º a 270º, el valor del coseno (en color verde) aumenta de – 1 a 0. Asimismo vemos que siempre queda a la izquierda del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre negativo. – 1 < cos α < 0 90º 0º 180º α β 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Valor y signo en 4º Cuadrante RAZONES EN EL CUARTO CUADRANTE Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 270º a 360º, el valor del seno (en color rojo) aumenta de – 1 a 0. Asimismo vemos que siempre queda por debajo del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre negativo. – 1 < sen α < 0 También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 270º a 360º, el valor del coseno (en color verde) aumenta de 0 a 1. Asimismo vemos que siempre queda a la derecha del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre positivo. 0 < cos α < 1 90º 0º 180º β α 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Valor y signo en los Vértices RAZONES EN VÉRTICES Como vemos los vértices son los límites geométricos del seno y coseno de un ángulo. Por lo tanto: 0 ≤ |sen α| ≤ 1 0 ≤ |cos α| ≤ 1 El valor de la tangente, sin embargo, no está limitada, pudiendo tomar valores entre –oo y +oo, dependiendo del cuadrante del ángulo. sen 90º=1 cos 90º=0 sen 0º=0 sen 180º=0 α cos 180º= -1 cos 0º=1 sen 270º= -1 cos 270º= 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT